- 数学归纳法
- 共1204题
已知数列{an}的首项a1=5且Sn-1=an（n≥2，n∈N*）
（1）求a1，a3，a4的值，并猜想an（n≥2，n∈N*）的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）由题意：Sn-1=an（n≥2，n∈N*），
得a2=S1=a1=5；a3=S2=a1+a2=10；a4=S3=a1+a2+a3=20；
猜想：an=5×2n-2（n≥2，n∈N）；
证明：（2）①当n=2时，由（1）知，命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即 ak=5×2k-2，
则当n=k+1时，a k+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+
故命题也成立．
综上，对一切n≥2，n∈N都有an=5×2n-2成立．
解析
解：（1）由题意：Sn-1=an（n≥2，n∈N*），
得a2=S1=a1=5；a3=S2=a1+a2=10；a4=S3=a1+a2+a3=20；
猜想：an=5×2n-2（n≥2，n∈N）；
证明：（2）①当n=2时，由（1）知，命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即 ak=5×2k-2，
则当n=k+1时，a k+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+
故命题也成立．
综上，对一切n≥2，n∈N都有an=5×2n-2成立．
用数学归纳法证明：1+
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．
（2）假设当n=k时，1+
当n=k+1时，左边=1+
≤k+
当n=k+1时命题成立．
由（1）（2）可得，对于任意n≥1，n∈N*都成立．
解析
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．
（2）假设当n=k时，1+
当n=k+1时，左边=1+
≤k+
当n=k+1时命题成立．
由（1）（2）可得，对于任意n≥1，n∈N*都成立．
用数学归纳法证明：
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=12=1，右边=
（2）假设当n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立．（10分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．（12分）
解析
证明：（1）当n=1时，左边=12=1，右边=
（2）假设当n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立．（10分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．（12分）
用数学归纳法证明等式：1+2+3…+3n=
正确答案
解析
解：n=k，左边=1+2+3…+3n，
n=k+1时，左边=1+2+3…+3n+（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）．
故选：D．
已知两个数列{Sn}、{Tn}分别：
当n∈N*，Sn=1-
（1）求S1，S2，T1，T2；
（2）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）S1=1-
T1=
（2）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：
则：Sk+1=Sk
=
=
=
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）
解析
解：（1）S1=1-
T1=
（2）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：
则：Sk+1=Sk
=
=
=
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）
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