- 数学归纳法
- 共1204题
令f（n）=12+22+…+（n-1）2+n2+（n-1）2+…+22+12，则f（n+1）=f（n）+______．
正确答案
（n+1）2+n2
解析
解：∵f（n）=12+22+…+（n-1）2+n2+（n-1）2+…+22+12，
∴f（n+1）=12+22+…+（n-1）2+n2+（n+1）2+n2+（n-1）2+…+22+12，
∴f（n+1）-f（n）=（n+1）2+n2，
即f（n+1）=f（n）=（n+1）2+n2，
故答案为：（n+1）2+n2
某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=
（1）若n=1，2 时猜想成立，求实数a，b的值．
（2）若该同学的猜想成立，请你用数学归纳法证明．若不成立，说明理由．
正确答案
证明：（1）若n=1，2 时猜想成立，
假设存在符合题意的常数a，b，
在等式1•22+2•32++n（n+1）2
=
令n=1，得4=
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，对于对于一切正整数n猜想都有
1•22+2•32++n（n+1）2=
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•22+2•32++k（k+1）2
=
那么当n=k+1时，
1•22+2•32++k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
=
=
=
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立．
解析
证明：（1）若n=1，2 时猜想成立，
假设存在符合题意的常数a，b，
在等式1•22+2•32++n（n+1）2
=
令n=1，得4=
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，对于对于一切正整数n猜想都有
1•22+2•32++n（n+1）2=
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•22+2•32++k（k+1）2
=
那么当n=k+1时，
1•22+2•32++k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
=
=
=
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立．
用数学归纳法证明等式（n+1）（n+2）×…×（n+n）=2n×1×3×…×（2n-1）的过程中，由n=k（k∈N*）推出n=k+1（k∈N*）成立时，左边应增加的因式是（ ）
A2k+1
B2（2k+1）
C
D
正确答案
解析
解：n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k-1）（k+1+k）（k+1+k+1），
∴由n=k到n=k+1时，等式左边应增加的项是2（2k+1）．
故选：B．
设函数f（x）=x2ex-1-
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，ex-1＞
正确答案
（1）解：f′（x）=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x（x+2）（ex-1-1），
令f′（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）；
（2）证明：设gn（x）=ex-1-
当n=1时，只需证明g1（x）=ex-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=ex-1-1＞0，
所以g1（x）=ex-1-x在（1，+∞）上是增函数，
所以g1（x）＞g1（1）=e0-1=0，即ex-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk（x）=ex-1-
当n=k+1时，
因为g′k+1（x）=ex-1-
所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以gk+1（x）＞gk+1（1）=e0-
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，ex-1＞
解析
（1）解：f′（x）=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x（x+2）（ex-1-1），
令f′（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）；
（2）证明：设gn（x）=ex-1-
当n=1时，只需证明g1（x）=ex-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=ex-1-1＞0，
所以g1（x）=ex-1-x在（1，+∞）上是增函数，
所以g1（x）＞g1（1）=e0-1=0，即ex-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk（x）=ex-1-
当n=k+1时，
因为g′k+1（x）=ex-1-
所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以gk+1（x）＞gk+1（1）=e0-
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，ex-1＞
用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N*），从n=k到n=k+1，左边的式子之比是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），
当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），
故从n=k到n=k+1，左边的式子之比是 
故选B．
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