热门试卷

解：（1）bn+1====，

∵a1=，b1=，

∴b2=，b3=，b4=，…4分

（2）猜想bn=，下面用数学归纳法证明…5分

①当n=1时，b1==，命题成立，…6分

②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即bk=；

那么当n=k+1时，bk+1====；

∴当n=k+1时命题也成立；

由①②知，对任意正整数命题都成立…8分

解：（1）f（1）=2，f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）

∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=22=4；

f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=22•2=8；

f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=23•2=16；

（2）猜想f（n）=2n，n∈N*

（3）用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，f（1）=21=2，∴猜想正确；

②假设当n=k（k≥1）时猜想正确，即f（k）=2k，k∈N*

那么当n=k+1时，f（k+1）=f（k）f（1）=2k•2=2k+1

所以，当n=k+1时，猜想正确

由①②知，对n∈N*，f（n）=2n，正确．

解：（1）在[1，+∞）上，在[1，+∞）上单调递增．

（2）当n=1时，，不等式成立；

假设当n=k时不等式成立，即有

则当n=k+1，

=

下面整：

令，则x∈[1，+∞），只需要证明，

由（1）知在区间[1，+∞）上单调递增

也就是证明了

即当n=k，

由此可知，对于一切（n∈N+），

解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，

这时令n=1，2，3，有解得：．

于是，对n=1，2，3下面等式成立

1•22+2•32+…+n（n+1）2=

记Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2

证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，

②设n=k时上式成立，即Sk=（3k2+11k+10）

那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2

=（3k2+5k+12k+24）

=[3（k+1）2+11（k+1）+10]

也就是说，等式对n=k+1也成立．

综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．