- 数学归纳法
- 共1204题
某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
正确答案
解析
解：由题意可知，
P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．
同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．
故选C
某个命题与正整数有关，如果当n=k（k∈N*）时，该命题成成立，那么可推知n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时命题不成立，那么（ ）
正确答案
解析
解：由题意可知，
对于A，当n=5时命题不成立，当n=4时该命题不成立，故A错误；
对于B，当n=5时命题不成立，则当n=6时该命题可能成立，也可能不成立，故B错误；
对于C，“n为大于5的某个自然数时”中的“某个”并不正确，从某自然数k0开始，以后所有的自然数都使得命题成立，故C错误；
故选：D．
若不等式
（1）猜想正整数a的最大值，
（2）并用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）当n=1时，
所以a＜26，
a是正整数，所以猜想a=25．
（2）下面利用数学归纳法证明
①当n=1时，已证；
②假设n=k时，不等式成立，即
则当n=k+1时，
有
=
因为
所以
所以当n=k+1时不等式也成立．
由①②知，对一切正整数n，都有
所以a的最大值等于25．…（14分）
解析
解：（1）当n=1时，
所以a＜26，
a是正整数，所以猜想a=25．
（2）下面利用数学归纳法证明
①当n=1时，已证；
②假设n=k时，不等式成立，即
则当n=k+1时，
有
=
因为
所以
所以当n=k+1时不等式也成立．
由①②知，对一切正整数n，都有
所以a的最大值等于25．…（14分）
用数学归纳法证明：当n为正整数时，13+23+33+…+n3=
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=
∴等式成立…2分
（2）假设当n=k时，等时成立，即13+23+33+…+k3=
那么，当n=k+1时，有13+23+33+…+k3+（k+1）3=
=（k+1）2•（
=（k+1）2•
=
=
这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分
根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立…10分
解析
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=
∴等式成立…2分
（2）假设当n=k时，等时成立，即13+23+33+…+k3=
那么，当n=k+1时，有13+23+33+…+k3+（k+1）3=
=（k+1）2•（
=（k+1）2•
=
=
这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分
根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立…10分
设数列{an}满足a1=3，an+1=an2-2nan+2，n∈N*．
（Ⅰ）求出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式（不需证明）；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得2n＞Sn成立的最小正整数n，并给出证明．
正确答案
解 （Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9，猜想an=2n+1．…（4分）
（Ⅱ）Sn=
使得2n＞Sn成立的最小正整数n=6．…（7分）
下面给出证明：n≥6（n∈N*）时都有2n＞n2+2n．
①n=6时，26＞62+2×6，即64＞48成立；…（8分）
②假设n=k（k≥6，k∈N*）时，2k＞k2+2k成立，那么2k+1=2•2k＞2（k2+2k）=k2+2k+k2+2k＞k2+2k+3+2k=（k+1）2+2（k+1），即n=k+1时，不等式成立；
由①、②可得，对于所有的n≥6（n∈N*）
都有2n＞n2+2n成立． …（12分）
解析
解 （Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9，猜想an=2n+1．…（4分）
（Ⅱ）Sn=
使得2n＞Sn成立的最小正整数n=6．…（7分）
下面给出证明：n≥6（n∈N*）时都有2n＞n2+2n．
①n=6时，26＞62+2×6，即64＞48成立；…（8分）
②假设n=k（k≥6，k∈N*）时，2k＞k2+2k成立，那么2k+1=2•2k＞2（k2+2k）=k2+2k+k2+2k＞k2+2k+3+2k=（k+1）2+2（k+1），即n=k+1时，不等式成立；
由①、②可得，对于所有的n≥6（n∈N*）
都有2n＞n2+2n成立． …（12分）
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