热门试卷

解：若存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立．

取n=1，2可得，解得a=1，b=4．

则=对于一切n∈N*都成立．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，显然成立．

（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即…+=．

则当n=k+1时，…++

=+

=

=

=

=．

也就是说当n=k+1时，等式也成立．

综上所述：可知等式对于一切n∈N*都成立．

解：（1）当n=1时，左边=cosα+isinα=右边，此时等式成立；

（2）假设当n=k时，等式成立，即（cosα+isinα）k=coskα+isinkα．

则当n=k+1时，左边=（cosα+isinα）k+1=（cosα+isinα）k（cosα+sinα）

=（coskα+isinkα）（cosα+isinα）=coskαcosα-sinkαsinα+（coskαsinα+sinkαcosα）i

=cos[（k+1）α]+isin[（k+1）α]=右边，

∴当n=k+1时，等式成立．

综上可知：等式对于∀n∈N*都成立．

证明：①当n=1时，1+≤1+≤+1，不等式成立；

②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即1+≤1+++…+≤+k，

则n=k+1时，

1+++…++++…+

≥1++++…+

＞1++

=1++2k•

=1+；

又1+++…++++…+

＜+k+

=+k+2k•

=+（k+1），

即n=k+1时，1+＜1+++…++++…+＜+（k+1），也成立；

综合①②知，对任意的n∈N*，1+≤1+++…+≤+n（n∈N*）．