- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证明：1+
正确答案
解析
解：当n=k时，左端=1+
那么当n=k+1时 左端=1+
∴第二步证明“从k到k+1”，左端增加的项数是2．
故选B．
对正整数n≥2，记
（1）求a2，a3，a4，a5的值；
（2）求证：当n≥5时，有
正确答案
解：（1）依题意，a2=
同理可得a3=3，a4=a5=
（2）下面用数学归纳法证明：当n≥5时，有an≤
①当n≤5时，由（1）可得an≤
②假设n=k时，ak≤
则n=k+1时，ak+1=
=
=
≤
=
≤
所以当n=k+1时命题成立
综上，当n≥5时，有an≤
解析
解：（1）依题意，a2=
同理可得a3=3，a4=a5=
（2）下面用数学归纳法证明：当n≥5时，有an≤
①当n≤5时，由（1）可得an≤
②假设n=k时，ak≤
则n=k+1时，ak+1=
=
=
≤
=
≤
所以当n=k+1时命题成立
综上，当n≥5时，有an≤
用数学归纳法证明等式：（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×2×3×…×（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应增加的项是______．
正确答案
2（2k+1）
解析
解：n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k-1）（k+1+k）（k+1+k+1），
∴由n=k到n=k+1时，等式左边应增加的项是2（2k+1）．
故答案为：2（2k+1）．
设函数f（n）=（1+
（1）求f（1）、f（2）、f（3）的值；
（2）猜想满足不等式f（n）＜0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）∵f（n）=（1+
∴f（1）=1，f（2）=
（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+
证明：①当n=3时，f（3）=-
②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即f（k）=
∴
则当n=k+1时，
由于f（k+1）=（1+
＜k（1+
∴（1+
由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+
解析
解：（1）∵f（n）=（1+
∴f（1）=1，f（2）=
（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+
证明：①当n=3时，f（3）=-
②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即f（k）=
∴
则当n=k+1时，
由于f（k+1）=（1+
＜k（1+
∴（1+
由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+
已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an-4n+7，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）根据计算结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
正确答案
解：（Ⅰ）根据已知，a2=2a1-4×1+7=2×1-4+7=5；
a3=2a2-4×2+7=2×5-8+7=9；
a4=2a3-4×3+7=2×9-12+7=13．（3分）
（Ⅱ）猜想an=4n-3．（5分）
证明：①当n=1时，由已知，等式左边=1，右边=4×1-3=1，猜想成立．（7分）
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=4k-3，（8分）
则n=k+1时，ak+1=2ak-4k+7=2（4k-3）-4k+7=4k+1=4（k+1）-3，
所以，当n=k+1时，猜想也成立．（12分）
综合①和②，可知an=4n-3对于任何n∈N*都成立．（13分）
解析
解：（Ⅰ）根据已知，a2=2a1-4×1+7=2×1-4+7=5；
a3=2a2-4×2+7=2×5-8+7=9；
a4=2a3-4×3+7=2×9-12+7=13．（3分）
（Ⅱ）猜想an=4n-3．（5分）
证明：①当n=1时，由已知，等式左边=1，右边=4×1-3=1，猜想成立．（7分）
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=4k-3，（8分）
则n=k+1时，ak+1=2ak-4k+7=2（4k-3）-4k+7=4k+1=4（k+1）-3，
所以，当n=k+1时，猜想也成立．（12分）
综合①和②，可知an=4n-3对于任何n∈N*都成立．（13分）
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