热门试卷

解：（1）由

当n=1时，，∴

当n=2时，，∴

（2）n≥2时，

∵，两式相减，化简可得

（3）由（1）得：；；

由得：；

猜想                       …（8分）

下面用数学归纳法证明猜想成立．

（i）当n=1时，，成立；

（ii）假设n=k时成立，即，

当n=k+1时，∵

∴==

所以，当n=k+1时也成立．…（12分）

由（i）（ii）可知，对一切自然数n都成立，即通项为：=…（14分）

解：（1）当n=1时，a1=S1=2-a1，∴a1=1．

当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2，∴a2=．

当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3，∴a3=．

当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4，∴a4=．

（2）猜想an=（n∈N*）．

证明：①当n=1时，a1=1，结论成立．

②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即ak=，

那么n=k+1时，

ak+1=Sk+1-Sk=2（k+1）-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1．

∴2ak+1=2+ak，

∴ak+1==，

这表明n=k+1时，结论成立，

由①②知猜想an=（n∈N*）成立．

证明：①当n=1时，不等式成立

②假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a1a2a3•…•ak=1

若a1，a2，a3，…，ak相同，则都为1，不等式得证

若a1，a2，a3，…，ak不全相同，则a1，a2，a3，…，ak的最大数和最小数不是同一个数

不妨令a1为a1，a2，a3，…，ak的最大数，a2为a1，a2，a3，…，ak的最小数．

则∵a1a2a3•…•ak=1，∴最大数a1≥1，最小数a2≤1

现将a1a2看成一个数，利用归纳假设，有a1a2+a3+…+ak≥k-1…（1）

由于a1≥1，a2≤1，所以（a1-1）（a2-1）≤0

所以a1a2≤a1+a2-1…（2）

将（2）代入（1），得

（a1+a2-1）+a3+…+ak≥k-1，即a1+a2+a3+…+ak≥k

∴当n=k时，结论正确

综上可知，a1+a2+a3+…+an≥n．