数学归纳法
共1204题

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数学归纳法
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题型：填空题

填空题

若f（n）=1+++…+（n∈N*），则对于k∈N*，f（k+1）=f（k）+______．

正确答案

解析

解：∵f（n）=1+++…+

∴f（k+1）=1+++…++++

∵f（k）=1+++…+

∴f（k+1）=f（k）+++

故答案为：++

题型：简答题

简答题

用数学归纳法证明等式：…=对于一切n∈N+都成立．

正确答案

证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立．

（2）假设n=k时，等式成立，即…=，

那么n=k+1时，…

====，

即n=k+1时，等式成立．

由（1）（2）可知，等式：…=对于一切n∈N+都成立．

解析

证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立．

（2）假设n=k时，等式成立，即…=，

那么n=k+1时，…

====，

即n=k+1时，等式成立．

由（1）（2）可知，等式：…=对于一切n∈N+都成立．

题型：简答题

简答题

是否存在常数a、b使得1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n（na-b）+对一切n∈N*都成立？若存在，请求出a、b的值并证明；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：n=1时，1=3（a-b）+，n=2时，1+2×3=9（2a-b）+，

所以a=，b=，

所以1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n（n-）+．

用数学归纳法证明等式1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n（n-）+．

（1）当n=1时，由以上可知等式成立；

（2）假设当n=k时，等式成立，即1+2×3+3×32+4×32+…+k×3k-1=3k（k-）+，

则当n=k+1时，1+2×3+3×32+4×32+…+k×3k-1+（k+1）×3k=3k（k-）+（k+1）×3k+

=3k+1[（k+1）-]+

由（1）（2）知，等式结一切正整数n都成立

解析

解：n=1时，1=3（a-b）+，n=2时，1+2×3=9（2a-b）+，

所以a=，b=，

所以1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n（n-）+．

用数学归纳法证明等式1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n（n-）+．

（1）当n=1时，由以上可知等式成立；

（2）假设当n=k时，等式成立，即1+2×3+3×32+4×32+…+k×3k-1=3k（k-）+，

则当n=k+1时，1+2×3+3×32+4×32+…+k×3k-1+（k+1）×3k=3k（k-）+（k+1）×3k+

=3k+1[（k+1）-]+

由（1）（2）知，等式结一切正整数n都成立

题型：简答题

简答题

已知数列{an}满足：a1=0，an+1=（n∈N+）

（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

正确答案

解：（Ⅰ）由a1=0，an+1=，

当n=1时，a2=，

当n=2时，a3==，

当n=3时，a3==，

（Ⅱ）由以上结果猜测：an=（6分）

用数学归纳法证明如下：

（1）当n=1时，左边=a1=0，右边═0，等式成立．（8分）

（2）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=成立．

那么，当n=k+1时，ak+1======

这就是说，当n=k+1时等式成立．

由（1）和（2），可知猜测an=对于任意正整数n都成立．

解析

解：（Ⅰ）由a1=0，an+1=，

当n=1时，a2=，

当n=2时，a3==，

当n=3时，a3==，

（Ⅱ）由以上结果猜测：an=（6分）

用数学归纳法证明如下：

（1）当n=1时，左边=a1=0，右边═0，等式成立．（8分）

（2）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=成立．

那么，当n=k+1时，ak+1======

这就是说，当n=k+1时等式成立．

由（1）和（2），可知猜测an=对于任意正整数n都成立．

题型：简答题

简答题

观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

…

（Ⅰ）照此规律，请你猜测出第n个等式；

（Ⅱ）用数学归纳法证明你猜测的等式______．（其他证法不给分）

正确答案

（Ⅰ）解：根据题意，观察可得，

第一个等式的左边、右边都是1，

第二个等式的左边是从2开始的3个数的和，

第三个等式的左边是从3开始的5个数的和，

…

其规律为：第n个等式的左边是从n开始的（2n-1）个数的和，

即n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2；

故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，

∴左边=右边

（2）假设n=k时等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）2，

当n=k+1时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）=（2k-1）2+（3k-1）-k+3k+（3k+1）═（2k+1）2．

综上（1）（2）可知n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2对于任意的正整数n都成立．

解析

（Ⅰ）解：根据题意，观察可得，

第一个等式的左边、右边都是1，

第二个等式的左边是从2开始的3个数的和，

第三个等式的左边是从3开始的5个数的和，

…

其规律为：第n个等式的左边是从n开始的（2n-1）个数的和，

即n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2；

故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，

∴左边=右边

（2）假设n=k时等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）2，

当n=k+1时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）=（2k-1）2+（3k-1）-k+3k+（3k+1）═（2k+1）2．

综上（1）（2）可知n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2对于任意的正整数n都成立．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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