热门试卷

（I）解：∵Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．即6Sn=，

∴当n=1时，6a1=+3a1+2，解得a1=1或2．

当n≥2时，，

∴6an=-3an-1，化为（an+an-1）（an-an-1-3）=0，

∵∀n∈N*，an＞0，∴an-an-1=3，

∴数列{an}是等差数列，公差为3，首项为1或2．

∴an=1+3（n-1）=3n-2，或an=2+3（n-1）=3n-1．

（II）证明：当an=3n-2，bn=log2（1+）=，

数列{bn}的前n项和Tn=++…+=，

要证明3Tn＞log2（），n∈N*．

即证明Tn．

即证明•…•＞．

下面利用数学归纳法证明：

（i）当n=1时，左边=1+1=2，右边=，左边＞右边，不等式成立．

（ii）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即•…•＞．

则当n=k+1时，需要证明：×＞，

即证明：＞成立，

即，即证明（3k+2）3＞（3k+1）2（3k+4），

而（3k+2）3-（3k+1）2（3k+4）=9n+8＞0，

因此逆推可知：×＞，也就是当n=k+1时不等式成立．

综上可得：3Tn＞log2（），n∈N*．

当an=3n-1，同理可证．

（Ⅰ）解：∵数列{an}满足．

∴，…（2分）

（Ⅱ）证明：由知  ，．                     （1）

所以    ，

即      ．                              …（5分）

从而  a1+a2+…+an==．                           …（7分）

（Ⅲ） 证明：等价于

证明，

即    ．                          （2）…（8分）

当n=1时，，，

即n=1时，（2）成立．

设n=k（k≥1）时，（2）成立，即 ．

当n=k+1时，由（1）知；         …（11分）

又由（1）及知 均为整数，

从而由 有 即，

所以  ，

即（2）对n=k+1也成立．

所以（2）对n≥1的正整数都成立，

即对n≥1的正整数都成立．     …（13分）

注：不同解法请教师参照评标酌情给分．

解：（1）观察算式：

1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

…

可得1+3+5+…+（2n-1）=n2．

证明：①n=1时，左式=右式=1，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2，

则当n=k+1时，

1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k2+2k+1=（k+1）2

这就是说n=k+1时，等式成立．

根据①，②，等式对任意的n∈N*均成立．