- 数学归纳法
- 共1204题
以下说法正确的是______．
①lg9•lg11＞1．
②用数学归纳法证明“
③已知f（x）是R上的增函数，a，b∈R，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的充要条件是a+b≥0．
④用分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件．
正确答案
③④
解析
解：∵lg9＞0，lg11＞0
∴lg9•lg11≤（
②用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故错；
③先证命题：a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）为真．
a+b≥0⇒a≥-b，b≥-a
⇒f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）
⇒f（a）+f（b）≥f（-b）+f（-a）．
再证f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）⇒a+b≥0为真，即命题a+b＜0⇒f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
a+b＜0⇒a＜-b，b＜-a
⇒f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a）
⇒f（a）+f（b）＜f（-b）+f（-a）．
故其逆命题：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0”也为真．
故f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的充要条件是a+b≥0，正确；
④分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，
此结论就一定成立．故正确．
故答案为：③④．
数列{an}满足
（1）求S1，S2，S3并猜想Sn；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的正确性．
正确答案
解：（1）当n≥2 时，
又
（2）①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k（k∈N*）时，结论成立，即
当n=k+1时，
故结论当n=k+1时也成立． 由①②知，结论对一切的n∈N*成立．
解析
解：（1）当n≥2 时，
又
（2）①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k（k∈N*）时，结论成立，即
当n=k+1时，
故结论当n=k+1时也成立． 由①②知，结论对一切的n∈N*成立．
试比较2n与n2（n∈N*）的大小关系，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：当n=1时，2n=2，n2=1，2n＞n2；
当n=2时，2n=4，n2=4，2n=n2；
当n=3时，2n=8，n2=9，2n＜n2；
当n=4时，2n=16，n2=16，2n=n2；
当n=5时，2n=32，n2=25，2n＞n2；
于是可猜测：2n＞n2（n≥5）．
证明：①当n=5时，均有2n＞n2，不等式成立；
②假设n=k（k≥5，k∈N*）时不等式成立，即2k＞k2；
则当n=k+1时，
左边=2k+1=2×2k＞2k2，右边=（k+1）2=k2+2k+1，
∵k≥5，2k2-（k2+2k+1）=k2-2k-1=（k-1）2-2＞0，
∴2k2＞（k+1）2，
即当n=k+1时，2k+1＞（k+1）2，不等式成立；
综上所述，2n＞n2（n≥5，n∈N*）．
解析
解：当n=1时，2n=2，n2=1，2n＞n2；
当n=2时，2n=4，n2=4，2n=n2；
当n=3时，2n=8，n2=9，2n＜n2；
当n=4时，2n=16，n2=16，2n=n2；
当n=5时，2n=32，n2=25，2n＞n2；
于是可猜测：2n＞n2（n≥5）．
证明：①当n=5时，均有2n＞n2，不等式成立；
②假设n=k（k≥5，k∈N*）时不等式成立，即2k＞k2；
则当n=k+1时，
左边=2k+1=2×2k＞2k2，右边=（k+1）2=k2+2k+1，
∵k≥5，2k2-（k2+2k+1）=k2-2k-1=（k-1）2-2＞0，
∴2k2＞（k+1）2，
即当n=k+1时，2k+1＞（k+1）2，不等式成立；
综上所述，2n＞n2（n≥5，n∈N*）．
已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）由4an+1-anan+1+2an=9得an+1=
∵a1=1，
∴a2=2-（-
同理可求，a3=
（2）证明：①当n=1时，猜想成立．
②设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=
则当n=k+1时，有ak+1=2-
所以当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何n∈N*都成立． …（10分）
解析
解：（1）由4an+1-anan+1+2an=9得an+1=
∵a1=1，
∴a2=2-（-
同理可求，a3=
（2）证明：①当n=1时，猜想成立．
②设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=
则当n=k+1时，有ak+1=2-
所以当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何n∈N*都成立． …（10分）
用数学归纳法证明：
正确答案
证明：（1）当n=1时，等式左边=
（2）假设n=k（k≥1．k∈N*）时等式成立，
即
那么当n=k+1时，
=
=
=
=
即n=k+1时等式成立．由（1）、（2）可知，对任意n∈N*等式均成立．
解析
证明：（1）当n=1时，等式左边=
（2）假设n=k（k≥1．k∈N*）时等式成立，
即
那么当n=k+1时，
=
=
=
=
即n=k+1时等式成立．由（1）、（2）可知，对任意n∈N*等式均成立．
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