热门试卷

（1）证明：∵f（x）=ln（1+x），∴f′（x）=．（x≥0）．

∴g（x）=．f（x）≥ag（x）即ln（1+x）≥⇔（1+x）ln（1+x）-ax≥0．

令h（x）=（1+x）ln（1+x）-ax（x≥0）．

h′（x）=ln（1+x）+1-a，

∵a≤1，∴1-a≥0，

又x≥0，ln（1+x）≥0，

∴h′（x）=ln（1+x）+1-a≥0，

∴h（x）在x≥0时单调递增，又h（0）=0，

∴h（x）≥0，即ln（1+x）≥，

∴f（x）≥ag（x）．

（2）解：g1（x）=g（x）=，

∵gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，

∴g2（x）=g（g1（x））===．

g3（x）=g（g2（x））===，

猜想：gn（x）=．

下面利用数学归纳法证明：

①当n=1时，g1（x）=g（x）=，成立．

②假设当n=k（k∈N*）时，gk（x）=．

则当n=k+1时，gk+1（x）=g（gk（x））===，

因此当n=k+1时，gn（x）=也成立．

综上可得：∀n∈N*，gn（x）=成立．

证明：（1）因数列{an}满足各项为1，即，

由，令x=-1，

则，即F（n）=0..…（3分）

（2）当n=2时，，即2a2=a1+a3，所以数列{an}的前3项成等差数列．

假设当n=k时，由，可得数列{an}的前k+1项成等差数列，…（5分）

因对任意大于等于2的正整数n，都有F（n）=0恒成立，所以F（k+1）=0成立，

所以，

两式相减得，，

因，

所以，

即，

由假设可知a2，a3，a4，…，ak+1，ak+2也成等差数列，从而数列{an}的前k+2项成等差数列．

综上所述，若F（n）=0对任意n≥3恒成立，则数列{an}是等差数列．…（10分）

解：（1）猜想正确；

（2）这是一种类比推理的方法；

（3）由类比可猜想，，n=1时，a+b+c+d=1；n=2时，16a+8b+4c+d=9；n=3时，81a+27b+9c+d=36

故解得，∴sn=13+23+33+…+n3=n4+n3+n2用数学归纳法证明：

①n=1时，结论成立；

②假设n=k时，结论成立，即13+23+33+…+k3=k4+k3+k2=则n=k+1时，左边=13+23+33+…+k3+（k+1）3=k4+k3+k2+（k+1）3=

=

=

=右边，结论成立

由①②可知，sn=13+23+33+…+n3=n4+n3+n2，成立