- 数学归纳法
- 共1204题
（1）分别计算：（1-
（2）根据（1）计算，猜想Tn=（1-
（3）用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）1-
（2）由（1）猜想：Tn=（1-
（3）利用数学归纳法证明：
①当n=1时，成立；
②假设当n=k（k∈N*）时，Tk=
则当n=k+1时，Tk+1=Tk•
∴当n=k+1时，命题成立．
综上可得：∀n∈N*，Tn=（1-
解析
解：（1）1-
（2）由（1）猜想：Tn=（1-
（3）利用数学归纳法证明：
①当n=1时，成立；
②假设当n=k（k∈N*）时，Tk=
则当n=k+1时，Tk+1=Tk•
∴当n=k+1时，命题成立．
综上可得：∀n∈N*，Tn=（1-
已知n为正偶数，用数学归纳法证明
正确答案
k+2
解析
解：用数学归纳法证明
若已假设n=k（k≥2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立．
故答案为k+2．
数列{an}的前n项和为Sn，且a1=
（1）写出Sn与Sn-1的递推关系式（n≥2），并求S2，S3，S4的值；
（2）猜想Sn关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）由已知，将an=Sn-Sn-1代入得，
n＞2时，
由
（2）由（1）可猜想
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，
②假设n=k猜想成立，即
故当n=k+1时，
由①②可得，
∴Sn关于n的表达式为
解析
解：（1）由已知，将an=Sn-Sn-1代入得，
n＞2时，
由
（2）由（1）可猜想
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，
②假设n=k猜想成立，即
故当n=k+1时，
由①②可得，
∴Sn关于n的表达式为
设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=
①先求出a1，a2，a3，a4的值，然后猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
②设
正确答案
解：①在 Sn=
a2 =3，同理可求，a3=5，a4=7．
猜测an=2n-1．
证明：当n=1时，猜测显然成立，假设 ak=2k-1，
则由 ak+1=sk+1-sk=
故n=k+1时，猜测仍然成立，
③∵
∴Tn=
=
解析
解：①在 Sn=
a2 =3，同理可求，a3=5，a4=7．
猜测an=2n-1．
证明：当n=1时，猜测显然成立，假设 ak=2k-1，
则由 ak+1=sk+1-sk=
故n=k+1时，猜测仍然成立，
③∵
∴Tn=
=
已知函数
（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：
正确答案
解：（I）
∵
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当x≥1时，f（x）≥f（1）=1； （3分）
（Ⅱ）∵
∵若f（x）存在单调递减区间，
∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解． （5分）
①当a=0时，明显成立．
②当a＜0时，y=ax2+2（a-1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a-1）x+a＜0总有x＞0的解；
③当a＞0时，y=ax2+2（a-1）x+a开口向上的抛物线，
即方程ax2+2（a-1）x+a=0有正根．
因为x1x2=1＞0，
所以方程ax2+2（a-1）x+a=0有两正根．
综合①②③知：
（Ⅲ）
（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，
令
∴
∵
∴
（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1，∴
设当n=k时，命题成立，即 
∴n=k+1时，
根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，
令
则有
因此，由数学归纳法可知不等式成立． （12分）
解析
解：（I）
∵
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当x≥1时，f（x）≥f（1）=1； （3分）
（Ⅱ）∵
∵若f（x）存在单调递减区间，
∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解． （5分）
①当a=0时，明显成立．
②当a＜0时，y=ax2+2（a-1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a-1）x+a＜0总有x＞0的解；
③当a＞0时，y=ax2+2（a-1）x+a开口向上的抛物线，
即方程ax2+2（a-1）x+a=0有正根．
因为x1x2=1＞0，
所以方程ax2+2（a-1）x+a=0有两正根．
综合①②③知：
（Ⅲ）
（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，
令
∴
∵
∴
（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1，∴
设当n=k时，命题成立，即
∴n=k+1时，
根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，
令
则有
因此，由数学归纳法可知不等式成立． （12分）
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