热门试卷

解：（1）通过n=1，=，当n=2，=，当n=3，a3=，=．

所以a2，a3，a4的值分别为：．

（2）由（1）可知数列的前4项为：；分子为正自然数列，分母为正自然数加2，所以猜想an的表达式为：．

证明：①当n=1时，显然成立，

②假设n=k时，猜想成立，即：，

那么，n=k+1时，===．

就是说，n=k+1时猜想成立．由①②可知对于n∈N+时猜想成立．

解：（1）∵a1=1，且an+1=，

∴a1=1，a2=，a3=；

（2）由（1）猜想an=．

下面用数学归纳法证明之，

①当n=1时，a1=1，结论成立；

②假设n=k（k≥1）时，结论成立，即ak=，则

n=k+1时，ak+1===，

所以当n=k+1等式成立

根据①②得an=成立．

解：（1）计算a1=18=9×2，a2=45=9×5，a3=108=9×12；    …3分

因为3个数的最大公约数为9，

猜想存在最大的正整数m=9，能使得an=4n+15n-1（n∈N*）能被m整除．…6分

（2）数学归纳法证明：

①当n=1时，a1=18=9×2，能被9整除，结论成立；            …7分

②假设n=k（k∈N*）时结论成立，即4k+15k-1能被9整除         …9分

则当n=k+1时，ak+1=4k+1+15（k+1）-1

变形ak+1=4•4k+15k+14=4（4k+15k-1）-45k+18∴ak+1=4（4k+15k-1）+9（2-5k）…11分

因为由假设结论可知4k+15k-1能被9整除，又因为9（2-5k）也能被9整除   …12分

所以ak+1=4k+1+15（k+1）-1也能被9整除

所以则当n=k+1时，结论成立                     …14分

由①②可知，对任意n∈N*，都有an能被9整除成立．…15分．

证明：记f（n）=1+++．（n∈N*，n＞1）…（2分）

（1）当n=2时，f（2）=1+＞，不等式成立；             …（4分）

（2）假设n=k（n∈N*，n≥2）时，不等式成立，…（6分）

即f（k）=1+++＞，

则当n=k+1时，有f（k+1）=f（k）+＞+=＞=   …（10分）

∴当n=k+1时，不等式也成立．…（12分）

综合（1），（2）知，原不等式对任意的n∈N*，（n＞1）都成立．…（14分）