- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证明，对任意x＞0及正整数n，有xn+xn-2+…+
正确答案
证明：1°当n=1时，x＞0，原不等式左边=x+
所以左边≥右边，原不等式成立；
当n=2时，x＞0，原不等式左边=x2+1+
所以左边≥右边，原不等式成立；
2°假设当n=k时，不等式成立，即xk+xk-2+…+
则当n=k+2时，左边=xk+2+xk+…+
∴n=k+2时，原不等式成立；
由1°、2°，可得对任意x＞0及正整数n，有xn+xn-2+…+
解析
证明：1°当n=1时，x＞0，原不等式左边=x+
所以左边≥右边，原不等式成立；
当n=2时，x＞0，原不等式左边=x2+1+
所以左边≥右边，原不等式成立；
2°假设当n=k时，不等式成立，即xk+xk-2+…+
则当n=k+2时，左边=xk+2+xk+…+
∴n=k+2时，原不等式成立；
由1°、2°，可得对任意x＞0及正整数n，有xn+xn-2+…+
用数学归纳法证明不等式
A
B
C
D
正确答案
解析
解：当n=k时，左边的代数式为
当n=k+1时，左边的代数式为
故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：
故选B．
用数学归纳法证明：1+
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵n=k时，左边最后一项为
∴从n=k到n=k+1，不等式左边需要添加的项为
故选D．
（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：
正确答案
（1）证明：当x＜0时，f（x）各项都是正数，
∴当x＜0时，f（x）为正数，
当0≤x≤1时，f（x）=x6+x2（1-x）+（1-x）＞0；
当x＞1时，f（x）=x3（x3-1）+x（x-1）+1＞0．
综上所述，f（x）的值恒为正数；
（2）因为a，b，c∈R+，a+b+c=1，所以
解析
（1）证明：当x＜0时，f（x）各项都是正数，
∴当x＜0时，f（x）为正数，
当0≤x≤1时，f（x）=x6+x2（1-x）+（1-x）＞0；
当x＞1时，f（x）=x3（x3-1）+x（x-1）+1＞0．
综上所述，f（x）的值恒为正数；
（2）因为a，b，c∈R+，a+b+c=1，所以
（1）用反证法证明：如果
（2）用数学归纳法证明：
正确答案
（1）证明：假设x2+2x-1=0，则x=-1±
要证：-1+
上式显然成立，故有-1+
综上，-1+
因此假设不成立，也即原命题成立．
（2）证明：①当n=1时，左边=
②假设当n=k（k≥1）时成立，即
那么当n=k+1时，左边=
=
∴n=k+1时也成立．
根据①②可得不等式对所有的n≥1都成立．
解析
（1）证明：假设x2+2x-1=0，则x=-1±
要证：-1+
上式显然成立，故有-1+
综上，-1+
因此假设不成立，也即原命题成立．
（2）证明：①当n=1时，左边=
②假设当n=k（k≥1）时成立，即
那么当n=k+1时，左边=
=
∴n=k+1时也成立．
根据①②可得不等式对所有的n≥1都成立．
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