- 数学归纳法
- 共1204题
已知数列
（1）计算S1，S2，S3，由此推测计算Sn的公式．
（2）用数学归纳法证明你所得的结论．
正确答案
解：（1）S1=1-
（2）下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，S1=1-
②假设n=k时，猜想成立，即Sk=1-
则n=k+1时，Sk+1=1-
∴n=k+1时猜想也成立
根据①②可知猜想对任何n∈N*都成立．
解析
解：（1）S1=1-
（2）下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，S1=1-
②假设n=k时，猜想成立，即Sk=1-
则n=k+1时，Sk+1=1-
∴n=k+1时猜想也成立
根据①②可知猜想对任何n∈N*都成立．
设aij（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．数表中第i行共有2i-1个正整数．
（1）若aij=2010，求i、j的值；
（2）记An=a11+a22+a33+…+ann（n∈N*），试比较An与n2+n的大小，并说明理由．
正确答案
解：（1）数表中前n行共有1+2+22++2n-1=2n-1个数，
即第i行的第一个数是2i-1，
∴aij=2i-1+j-1．
∵210＜2010＜211，aij=2010，
∴i=11．
令210+j-1=2010，
解得j=2010-210+1=987．
（2）∵An=a11+a22+a33+…+ann=（1+2+22+…+2n-1）+[0+1+2+…+（n-1）]
=
∴
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
当n≥4时，猜想：
下面用数学归纳法证明猜想正确．
①当n=4时，
即
②假设当n=k（k≥4）时，猜想成立，即
则
∵
∴
即当n=k+1时，猜想也正确．
由①、②得当n≥4时，
当n≥4时，An＞n2+n．
综上所述，当n=1，2，3时，An＜n2+n；当n≥4时，An＞n2+n．
解析
解：（1）数表中前n行共有1+2+22++2n-1=2n-1个数，
即第i行的第一个数是2i-1，
∴aij=2i-1+j-1．
∵210＜2010＜211，aij=2010，
∴i=11．
令210+j-1=2010，
解得j=2010-210+1=987．
（2）∵An=a11+a22+a33+…+ann=（1+2+22+…+2n-1）+[0+1+2+…+（n-1）]
=
∴
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
当n≥4时，猜想：
下面用数学归纳法证明猜想正确．
①当n=4时，
即
②假设当n=k（k≥4）时，猜想成立，即
则
∵
∴
即当n=k+1时，猜想也正确．
由①、②得当n≥4时，
当n≥4时，An＞n2+n．
综上所述，当n=1，2，3时，An＜n2+n；当n≥4时，An＞n2+n．
用数学归纳法证明：
正确答案
证明：①∵当n=1时，
∴
②假设当n=k时，不等式成立，即
则当n=k+1时，
∵（
∴（
∴
综合①②知，对任意n∈N*，
解析
证明：①∵当n=1时，
∴
②假设当n=k时，不等式成立，即
则当n=k+1时，
∵（
∴（
∴
综合①②知，对任意n∈N*，
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，满足Sn=6-2an+1（n∈N*），
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）的猜想．
正确答案
解：（1）因为a1=3，且Sn=6-2an+1（n∈N*），所以S1=6-2a2=a1=3
解得
又
解得
所以有
（2）由（1）知a1=3=
猜想
（3）①由（1）已得当n=1时，命题成立；…（理10分）
②假设n=k时，命题成立，即 ak=
当n=k+1时，Sk=6-2ak+1（k∈N*）a1+a2+…+ak=6-2ak+1
即3+
ak+1=
即当n=k+1时，命题成立．…（理13分）
根据①②得n∈N+，an=
解析
解：（1）因为a1=3，且Sn=6-2an+1（n∈N*），所以S1=6-2a2=a1=3
解得
又
解得
所以有
（2）由（1）知a1=3=
猜想
（3）①由（1）已得当n=1时，命题成立；…（理10分）
②假设n=k时，命题成立，即 ak=
当n=k+1时，Sk=6-2ak+1（k∈N*）a1+a2+…+ak=6-2ak+1
即3+
ak+1=
即当n=k+1时，命题成立．…（理13分）
根据①②得n∈N+，an=
用数学归纳法证明：f（n）=（n+1）（n+2）•…•（n+n）＜（2n）n（n≥2，n∈N*）时，f（k+1）=f（k）•______．
正确答案
2（2k+1）
解析
解：由题意可得
当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），
当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），
故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是
故答案为 2（2k+1）．
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