- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证1-+
-
+L+
-
=
的过程中,当n=k到n=k+1时,左边所增加的项为______.
正确答案
解析
解:当n=k到n=k+1时,
左边增加了两项 ,
减少了一项 ,
左边所增加的项为 .
故答案为.
观察下列各不等式:
1+<
,
1++
<
,
1++
+
<
,
1++
+
+
<
,
…
(1)由上述不等式,归纳出一个与正整数n(n≥2)有关的一般性结论;
(2)用数学归纳法证明你得到是结论.
正确答案
解:(1)观察1+<
,
1++
<
,
1++
+
<
,
1++
+
+
<
,
…
各不等式,得到与正整数n有关的一般不等式为
1++
+
+
<
且n≥2.…(6分)
(2)以下用数学归纳法证明这个不等式.
①当n=2时,由题设可知,不等式显然成立.
②假设当n=k时,不等式成立,即
1++
+
+
<
…(8分)
那么,当n=k+1时,有 1++
+
+
+
<
==
=
.
所以当n=k+1时,不等式也成立.…(14分)
根据①和②,可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立.…(16分)
解析
解:(1)观察1+<
,
1++
<
,
1++
+
<
,
1++
+
+
<
,
…
各不等式,得到与正整数n有关的一般不等式为
1++
+
+
<
且n≥2.…(6分)
(2)以下用数学归纳法证明这个不等式.
①当n=2时,由题设可知,不等式显然成立.
②假设当n=k时,不等式成立,即
1++
+
+
<
…(8分)
那么,当n=k+1时,有 1++
+
+
+
<
==
=
.
所以当n=k+1时,不等式也成立.…(14分)
根据①和②,可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立.…(16分)
(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,用分析法求证:<
a.
(2)f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.
正确答案
(1)证明:要证<
a,只需证b2-ac<3a2.
∵a+b+c=0,∴只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,
只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.
∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,∴(a-b)(a-c)>0显然成立.故原不等式成立
(2)f(0)+f(1)=+
=
+
=
=
,
同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=
.
由此猜想f(x)+f(1-x)=.
证明:f(x)+f(1-x)=+
=+
=
==
.
解析
(1)证明:要证<
a,只需证b2-ac<3a2.
∵a+b+c=0,∴只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,
只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.
∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,∴(a-b)(a-c)>0显然成立.故原不等式成立
(2)f(0)+f(1)=+
=
+
=
=
,
同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=
.
由此猜想f(x)+f(1-x)=.
证明:f(x)+f(1-x)=+
=+
=
==
.
(1)已知数列{an}的通项公式为an=(2n+1)•2n-1,用反证法证明数列{an}中任何三项都不可能成等比数列;
(2)用数学归纳法证明不等式n!≤()n,n∈N*.
正确答案
证明:(1)用反证法证明
假设存在ar,as,at成等比数列,
则[(2r+1)•2r-1]•[(2t+1)•2t-1]=(2s+1)2•22s-2.
整理得(2r+1)(2t+1)•2r+t-2s=(2s+1)2.
等式右边为奇数,要使左边等于右边,则r+t-2s=0.
所以,(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2,整理得(r-t)2=0,∴r=t.这与r≠t矛盾,
故不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.
(2)①当n=1时,左边=1,右边=1,∴n=1时成立
②假设当n=k时成立,即k!≤,
那么当n=k+1时,左边(k+1)!≤•(k+1)=
.
∵-
=
<0,
∴(k+1)!≤,
∴n=k+1时,不等式成立,
综上,不等式n!≤()n,n∈N*成立.
解析
证明:(1)用反证法证明
假设存在ar,as,at成等比数列,
则[(2r+1)•2r-1]•[(2t+1)•2t-1]=(2s+1)2•22s-2.
整理得(2r+1)(2t+1)•2r+t-2s=(2s+1)2.
等式右边为奇数,要使左边等于右边,则r+t-2s=0.
所以,(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2,整理得(r-t)2=0,∴r=t.这与r≠t矛盾,
故不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.
(2)①当n=1时,左边=1,右边=1,∴n=1时成立
②假设当n=k时成立,即k!≤,
那么当n=k+1时,左边(k+1)!≤•(k+1)=
.
∵-
=
<0,
∴(k+1)!≤,
∴n=k+1时,不等式成立,
综上,不等式n!≤()n,n∈N*成立.
在数列{an}和{bn}中,a1=1,b1=2,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4和b2,b3,b4;
(2)猜想{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;
(3)求证:(n∈N*).
正确答案
解:(1)令n=1可得2b1=a1+a2,a22=b1b2,代入条件得:
,解得a2=3,
,
同理得a3=6,b3=8,a4=10,.(4分)
(2)猜想:,
.
用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,结论显然成立
(ⅱ)假设n=k时结论成立,即,
当n=k+1时,ak+1=2bk-ak==
bk+1=
所以当n=k+1时,结论也成立
综合(ⅰ)(ⅱ)对任意n∈N*,,bn=
都成立.(8分)
(3)欲证
即证
下面用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,左=,右=
,不等式显然成立
(ⅱ)假设n=k时结论成立,即
当n=k+1时
而=
所以
即
则n=k+1时不等式也成立.
综合(ⅰ)(ⅱ)对任意n∈N*,都有
亦即.(12分)
解析
解:(1)令n=1可得2b1=a1+a2,a22=b1b2,代入条件得:
,解得a2=3,
,
同理得a3=6,b3=8,a4=10,.(4分)
(2)猜想:,
.
用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,结论显然成立
(ⅱ)假设n=k时结论成立,即,
当n=k+1时,ak+1=2bk-ak==
bk+1=
所以当n=k+1时,结论也成立
综合(ⅰ)(ⅱ)对任意n∈N*,,bn=
都成立.(8分)
(3)欲证
即证
下面用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,左=,右=
,不等式显然成立
(ⅱ)假设n=k时结论成立,即
当n=k+1时
而=
所以
即
则n=k+1时不等式也成立.
综合(ⅰ)(ⅱ)对任意n∈N*,都有
亦即.(12分)
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