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题型:填空题
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填空题

用数学归纳法证1-+-+L+-=的过程中,当n=k到n=k+1时,左边所增加的项为______

正确答案

解析

解:当n=k到n=k+1时,

左边增加了两项

减少了一项

左边所增加的项为

故答案为

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题型:简答题
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简答题

观察下列各不等式:

1+

1++

1+++

1++++

(1)由上述不等式,归纳出一个与正整数n(n≥2)有关的一般性结论;

(2)用数学归纳法证明你得到是结论.

正确答案

解:(1)观察1+

1++

1+++

1++++

各不等式,得到与正整数n有关的一般不等式为

1++++且n≥2.…(6分)

(2)以下用数学归纳法证明这个不等式.

①当n=2时,由题设可知,不等式显然成立.

②假设当n=k时,不等式成立,即

 1++++              …(8分)

那么,当n=k+1时,有 1+++++  

===

所以当n=k+1时,不等式也成立.…(14分)

根据①和②,可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立.…(16分)

解析

解:(1)观察1+

1++

1+++

1++++

各不等式,得到与正整数n有关的一般不等式为

1++++且n≥2.…(6分)

(2)以下用数学归纳法证明这个不等式.

①当n=2时,由题设可知,不等式显然成立.

②假设当n=k时,不等式成立,即

 1++++              …(8分)

那么,当n=k+1时,有 1+++++  

===

所以当n=k+1时,不等式也成立.…(14分)

根据①和②,可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立.…(16分)

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题型:简答题
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简答题

(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,用分析法求证:a.

(2)f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.

正确答案

(1)证明:要证a,只需证b2-ac<3a2

∵a+b+c=0,∴只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,

只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.

∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,∴(a-b)(a-c)>0显然成立.故原不等式成立

(2)f(0)+f(1)=+=+==

同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=

由此猜想f(x)+f(1-x)=

证明:f(x)+f(1-x)=+

=+=

==

解析

(1)证明:要证a,只需证b2-ac<3a2

∵a+b+c=0,∴只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,

只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.

∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,∴(a-b)(a-c)>0显然成立.故原不等式成立

(2)f(0)+f(1)=+=+==

同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=

由此猜想f(x)+f(1-x)=

证明:f(x)+f(1-x)=+

=+=

==

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题型:简答题
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简答题

(1)已知数列{an}的通项公式为an=(2n+1)•2n-1,用反证法证明数列{an}中任何三项都不可能成等比数列;

(2)用数学归纳法证明不等式n!≤(n,n∈N*

正确答案

证明:(1)用反证法证明

假设存在ar,as,at成等比数列,

则[(2r+1)•2r-1]•[(2t+1)•2t-1]=(2s+1)2•22s-2

整理得(2r+1)(2t+1)•2r+t-2s=(2s+1)2

等式右边为奇数,要使左边等于右边,则r+t-2s=0.

所以,(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2,整理得(r-t)2=0,∴r=t.这与r≠t矛盾,

故不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.

(2)①当n=1时,左边=1,右边=1,∴n=1时成立

②假设当n=k时成立,即k!≤

那么当n=k+1时,左边(k+1)!≤•(k+1)=

-=<0,

∴(k+1)!≤

∴n=k+1时,不等式成立,

综上,不等式n!≤(n,n∈N*成立.

解析

证明:(1)用反证法证明

假设存在ar,as,at成等比数列,

则[(2r+1)•2r-1]•[(2t+1)•2t-1]=(2s+1)2•22s-2

整理得(2r+1)(2t+1)•2r+t-2s=(2s+1)2

等式右边为奇数,要使左边等于右边,则r+t-2s=0.

所以,(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2,整理得(r-t)2=0,∴r=t.这与r≠t矛盾,

故不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.

(2)①当n=1时,左边=1,右边=1,∴n=1时成立

②假设当n=k时成立,即k!≤

那么当n=k+1时,左边(k+1)!≤•(k+1)=

-=<0,

∴(k+1)!≤

∴n=k+1时,不等式成立,

综上,不等式n!≤(n,n∈N*成立.

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题型:简答题
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简答题

在数列{an}和{bn}中,a1=1,b1=2,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).

(1)求a2,a3,a4和b2,b3,b4

(2)猜想{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;

(3)求证:(n∈N*).

正确答案

解:(1)令n=1可得2b1=a1+a2,a22=b1b2,代入条件得:

,解得a2=3,

同理得a3=6,b3=8,a4=10,.(4分)

(2)猜想:

用数学归纳法证明:

(ⅰ)当n=1时,结论显然成立

(ⅱ)假设n=k时结论成立,即

当n=k+1时,ak+1=2bk-ak==bk+1=

所以当n=k+1时,结论也成立

综合(ⅰ)(ⅱ)对任意n∈N*,bn=都成立.(8分)

(3)欲证

即证

下面用数学归纳法证明:

(ⅰ)当n=1时,左=,右=,不等式显然成立

(ⅱ)假设n=k时结论成立,即

当n=k+1时

=

所以

则n=k+1时不等式也成立.

综合(ⅰ)(ⅱ)对任意n∈N*,都有

亦即.(12分)

解析

解:(1)令n=1可得2b1=a1+a2,a22=b1b2,代入条件得:

,解得a2=3,

同理得a3=6,b3=8,a4=10,.(4分)

(2)猜想:

用数学归纳法证明:

(ⅰ)当n=1时,结论显然成立

(ⅱ)假设n=k时结论成立,即

当n=k+1时,ak+1=2bk-ak==bk+1=

所以当n=k+1时,结论也成立

综合(ⅰ)(ⅱ)对任意n∈N*,bn=都成立.(8分)

(3)欲证

即证

下面用数学归纳法证明:

(ⅰ)当n=1时,左=,右=,不等式显然成立

(ⅱ)假设n=k时结论成立,即

当n=k+1时

=

所以

则n=k+1时不等式也成立.

综合(ⅰ)(ⅱ)对任意n∈N*,都有

亦即.(12分)

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