- 数学归纳法
- 共1204题
求证：4n＞（n+3）•3n-1（n∈N*，且n＞2）
正确答案
证明：（1）当n=3时，左边=43=64，右边=6×32=54，∴左边＞右边，不等式成立；
（2）假设n=k≥3（k∈N*）时成立，即4k＞（k+3）•3k-1．
则当n=k+1时，左边=4k+1=4•4k＞4×（k+3）•3k-1．
∵4（k+3）＞3（k+4），
∴4×（k+3）•3k-1＞3（k+4）•3k-1=（k+1+3）•3k+1-1，
∴左边=4k+1＞4×（k+4）•3k-1＞（k+1+3）•3k+1-1=右边，
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上（1）（2）可得：不等式：4n＞（n+3）•3n-1（n∈N*，且n＞2）成立．
解析
证明：（1）当n=3时，左边=43=64，右边=6×32=54，∴左边＞右边，不等式成立；
（2）假设n=k≥3（k∈N*）时成立，即4k＞（k+3）•3k-1．
则当n=k+1时，左边=4k+1=4•4k＞4×（k+3）•3k-1．
∵4（k+3）＞3（k+4），
∴4×（k+3）•3k-1＞3（k+4）•3k-1=（k+1+3）•3k+1-1，
∴左边=4k+1＞4×（k+4）•3k-1＞（k+1+3）•3k+1-1=右边，
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上（1）（2）可得：不等式：4n＞（n+3）•3n-1（n∈N*，且n＞2）成立．
（理科）设数列{an}满足a1=3，an+1=an2-2nan+2．
（1）求a2，a3，a4；
（2）先猜想出{an}的一个通项公式，再用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）由条件
（2）由（1），猜想an=2n+1．…（7分）
下用数学归纳法证明之：
①当n=1时，a1=3=2×1+1，猜想成立； …（8分）
②假设当n=k时，猜想成立，即有ak=2k+1，…（9分）
则当n=k+1时，有
即当n=k+1时猜想也成立，…（13分）
综合①②知，数列{an}通项公式为an=2n+1．…（14分）
解析
解：（1）由条件
（2）由（1），猜想an=2n+1．…（7分）
下用数学归纳法证明之：
①当n=1时，a1=3=2×1+1，猜想成立； …（8分）
②假设当n=k时，猜想成立，即有ak=2k+1，…（9分）
则当n=k+1时，有
即当n=k+1时猜想也成立，…（13分）
综合①②知，数列{an}通项公式为an=2n+1．…（14分）
观察下列等式：-1=-1，-1+3=2，-1+3-5=-3，-1+3-5+7=4，-1+3-5+7-9=-5，-1+3-5+7-9+11=6，…
（1）猜想反映一般规律的数学表达式； （2）用数学归纳法证明该表达式．
正确答案
解：（1）观察等式：-1=-1，-1+3=2，-1+3-5=-3，-1+3-5+7=4，-1+3-5+7-9=-5，-1+3-5+7-9+11=6，…
可得-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）=（-1）n•n．
（2）证明：①n=1时，左式=右式=-1，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）=（-1）k•k，
则当n=k+1时，
左式=-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）+（-1）k+1（2k+1）
=（-1）k•k+（-1）k+1（2k+1）
=（-1）k+1（-k+2k+1）
=（-1）k+1（k+1）=右式，
即n=k+1时，等式成立．
根据①，②，等式对任意的n∈N*均成立．
解析
解：（1）观察等式：-1=-1，-1+3=2，-1+3-5=-3，-1+3-5+7=4，-1+3-5+7-9=-5，-1+3-5+7-9+11=6，…
可得-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）=（-1）n•n．
（2）证明：①n=1时，左式=右式=-1，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）=（-1）k•k，
则当n=k+1时，
左式=-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）+（-1）k+1（2k+1）
=（-1）k•k+（-1）k+1（2k+1）
=（-1）k+1（-k+2k+1）
=（-1）k+1（k+1）=右式，
即n=k+1时，等式成立．
根据①，②，等式对任意的n∈N*均成立．
是否存在最大的正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意正整数n都能被m整除？
正确答案
解：f（1）=（2+7）•3+9=36，
f（2）=（2×2+7）•32+9=36×3，
f（3）=（2×3+7）•33+9=36×10，
猜测存在m=36（2分）
①当n=1时，f（1）=（2+7）•3+9=36能被36整除（1分）
②假设n=k时，f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除
当n=k+1时，f（k+1）=[2（k+1）+7）]•3k+1+9
=3[（2k+7）3k+9+（2×3k-9）]+9
=3[（2k+7）3k+9]+6×3k-18
=3[（2k+7）3k+9]+18（3k-1-1）（3分）
∵k∈N*，∴3k-1-1为偶数，18（3k-1-1）能被36整除（2分）
∴f（k+1）=3[（2k+7）3k+9]+18（3k-1-1）能被36整除（1分）
∴n=k+1时，猜测也成立
由①②可知对任意正整数n猜测都成立
故存在m=36（1分）
解析
解：f（1）=（2+7）•3+9=36，
f（2）=（2×2+7）•32+9=36×3，
f（3）=（2×3+7）•33+9=36×10，
猜测存在m=36（2分）
①当n=1时，f（1）=（2+7）•3+9=36能被36整除（1分）
②假设n=k时，f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除
当n=k+1时，f（k+1）=[2（k+1）+7）]•3k+1+9
=3[（2k+7）3k+9+（2×3k-9）]+9
=3[（2k+7）3k+9]+6×3k-18
=3[（2k+7）3k+9]+18（3k-1-1）（3分）
∵k∈N*，∴3k-1-1为偶数，18（3k-1-1）能被36整除（2分）
∴f（k+1）=3[（2k+7）3k+9]+18（3k-1-1）能被36整除（1分）
∴n=k+1时，猜测也成立
由①②可知对任意正整数n猜测都成立
故存在m=36（1分）
数列{an}（n∈N）中，a1=0，当3an＜n2时，an+1=n2，当3an＞n2时，an+1=3an，求a2，a3，a4，a5，猜测数列的通项公式an并证明你的结论．
正确答案
解：当a=0时，a1=0，则3a1＜1，知a2=1，
因为3a2=3＜22，由数列{an}定义知a3=4．
因为3a3=12＞9，由数列定义知a4=3a3=12．
又因为3a4=36＞16，由定义知a5=3a4=36由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3； 6分
下面用数学归纳法去证明：当n≥3时，3an＞n2．
当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3ak＞k2成立．则由数列{an}定义知ak+1=3ak＞k2，
从而3ak+1-（k+1）2＞3k2-（k+1）2=2k（k-2）+2k-1＞0．
所以3ak+1＞（k+1）2，即当n=k+1（k≥3）时，3ak+1＞（k+1）2成立．
故当n≥3时，3an＞n2，an+1=3an．
而a3=4．因此an=4×3n-3.11分
综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n-3（ n≥3）（12分）
解析
解：当a=0时，a1=0，则3a1＜1，知a2=1，
因为3a2=3＜22，由数列{an}定义知a3=4．
因为3a3=12＞9，由数列定义知a4=3a3=12．
又因为3a4=36＞16，由定义知a5=3a4=36由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3； 6分
下面用数学归纳法去证明：当n≥3时，3an＞n2．
当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3ak＞k2成立．则由数列{an}定义知ak+1=3ak＞k2，
从而3ak+1-（k+1）2＞3k2-（k+1）2=2k（k-2）+2k-1＞0．
所以3ak+1＞（k+1）2，即当n=k+1（k≥3）时，3ak+1＞（k+1）2成立．
故当n≥3时，3an＞n2，an+1=3an．
而a3=4．因此an=4×3n-3.11分
综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n-3（ n≥3）（12分）
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