热门试卷

解：（1）由Sn=-an-①，

得Sn-1=-an-1-（n≥2）②，

由①-②，得an=-an+an-1，即3an=an-1（n≥2）．

由S1=-a1-，得a1=-，

∴数列{an}为以a1=-为首项，为公比的等比数列，

即an=-•=-（n∈N*）．

（2）证明：由

bn==（n∈N*），

得：b1×b2×b3×…×bn==．

因此，要证b1×b2×b3×…×bn＜2×n!，

只要证（1-）（1-）…（1-）＞．

下面用数学归纳法先证明（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）（n∈N*）．

①当n=1，不等式左边=，右边=，

∴不等式成立；           

②设n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，

即（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）（k∈N*），

则当n=k+1时，

左边=（1-）（1-）…（1-）（1-）≥[1-（++…+）]（1-），

而[1-（++…+）]•（1-）=1--（++…+）+（++…+）≥1-（++…++），

即n=k+1时，不等式也成立．

综合①②，（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）（n∈N*）．成立．

又1-（++…+）=1-=+＞，

∴（1-）（1-）…（1-）＞．成立．

从而b1×b2×b3×…×bn＜2×n!成立．

解：（1）∵数列{an}满足a1=，2an=an-1 +1（n≥2），

∴2a2=a1+1=，∴a2=．

同理a3=，a4=；

（2）猜想通项公式an=1-，证明如下：

①n=1时，结论成立；

②设n=k时，结论成立，即ak=1-，

则n=k+1时，2ak+1=ak+1=2-，∴ak+1=1-，

即n=k+1时，结论成立．

由①②可知an=1-．

证明：设f（n）=++…+，首先利用数学归纳法证不等式an＜，n=3，4，5．

（ⅰ）当n=3时，由a3≤=≤=，知不等式成立．

（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak＜，则ak+1≤=＜===

即当n=k+1时，不等式也成立．

由（ⅰ）（ⅱ）知，an＜，n=3，4，5，…

又由已知不等式得an＜=，n=3，4，5，…