热门试卷

解：（1）f（1）=2，f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）

∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=22=4、

f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=22•2=8、

f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=23•2=16；

（2）猜想f（n）=2n，n∈N*

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，f（1）=21=2∴猜想正确；…（7分）

②假设当n=k（k≥1）时猜想正确，即f（k）=2k，k∈N*

那么当n=k+1时，f（k+1）=f（k）f（1）=2k•2=2k+1

所以，当n=k+1时，猜想正确

由①②知，对n∈N*，f（n）=2n，正确．…（13分）

解：假设存在a、b、c使12+22+32+…n2+（n-1）2+…21+12=an（bn2+c）对于一切n∈N*都成立．

当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19．

解方程组，解得．

证明如下：

①当n=1时，由以上知存在常数a、b、c使等式成立．

②假设n=k（k∈N*）时等式成立，

即12+22+32+…k2+（k-1）2+…22+12=ak（bk2+c）=；

当n=k+1时，12+22+32+…（k+1）2+k2+…22+12=ak（bk2+c）=+（k+1）2+k2=；

即n=k+1时，等式成立．

因此存在，使等式对一切n∈N*都成立．

（1）证明：利用数学归纳法．

（i）当n=1时，x1=1≥1，结论成立．

（ii）假设当n≤k，k∈N*时，结论成立，即k个正数x1、x2，…，xk的乘积x1x2…xk=1，那么它们的和x1+x2+…+xk≥k．

当n=k+1时，k+1个正数x1、x2，…，xk，xk+1的乘积x1x2…xk•xk+1=1，

显然存在xi≥1，xj≤1（i，j∈{1，2，3，…，k+1}），不妨设i=1，j=2．则（x1x2）•x3•…•xk+1=1，

由归纳假设可得：x1x2+x3+…+xk+1≥k，∵x1≥1，x2≤1，∴（x1-1）（x2-1）≤0，∴x1x2+1≤x1+x2，

∴x1+x2+…+xk+xk+1≥x1x2+1+x3+…+xk+1≥k+1．

综上可知：对于∀n∈N*，命题成立．

（2）证明：令x1=＞0，…，xn=＞0，

∴x1x2•…•xn=1．

由引理可得：x1+x2+…+xn≥n，∴≥n，即≥．