- 数学归纳法
- 共1204题
已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k≥2，且k为偶数）时等式成立，则还需利用归纳假设再证（ ）
正确答案
解析
解：若已假设n=k（k≥2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立．
故选：B．
用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式
正确答案
证明：①当n=2时，左端=1+
②假设当n=k时，有原不等式成立，即
那么当n=k+1时，有
又4k2+8k+4＞4k2+8k+3，∴
即
综上，由①②知，对一切大于1的自然数n，不等式
解析
证明：①当n=2时，左端=1+
②假设当n=k时，有原不等式成立，即
那么当n=k+1时，有
又4k2+8k+4＞4k2+8k+3，∴
即
综上，由①②知，对一切大于1的自然数n，不等式
已知数列{an}的通项an=n2+n，试问是否存在常数p，q，使等式
正确答案
解：令n=1，2可得
∴p+q=8，4p+2q=22，
∴p=3，q=5，
∴
证明如下：
①n=1时，左边=
②假设n=k时结论成立，即
则n=k+1时，左边=
=
即n=k+1时，结论成立，
由①②可知
解析
解：令n=1，2可得
∴p+q=8，4p+2q=22，
∴p=3，q=5，
∴
证明如下：
①n=1时，左边=
②假设n=k时结论成立，即
则n=k+1时，左边=
=
即n=k+1时，结论成立，
由①②可知
用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=
正确答案
1+a+a2
解析
解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．
故答案为：1+a+a2
已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）f（6）=6+2+
（2）当n≥6时，f（n）=
下面用数学归纳法证明：
①n=6时，f（6）=6+2+
②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：
1）若k+1=6t，则k=6（t-1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+
2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
综上所述，结论f（n）=n+[
解析
解：（1）f（6）=6+2+
（2）当n≥6时，f（n）=
下面用数学归纳法证明：
①n=6时，f（6）=6+2+
②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：
1）若k+1=6t，则k=6（t-1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+
2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
综上所述，结论f（n）=n+[
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