- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证明“当n∈N*时，1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”时，从k到k+1时需添加的项是______．．
正确答案
25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
解析
解：当n=k时，原式=1+2+22+…+25k-1当n=k+1时，原式=1+2+22+…+25k+4∴从k到k+1时需增添的项是 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4，
故答案为：25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
用数学归纳法证明“1+2+…+n+（n-1）…+2+1=n2（n∈N+）”，从n=k到n=k+1时，左边添加的代数式为（ ）
正确答案
解析
解：从n=k到n=k+1时，左边添加的代数式为：k+1+k．
故选：C．
已知数列{an}，a1=
正确答案
证明：∵a1=
∴a3=a1+a2=1+2=3，同理可得a4=5，a5=8，a6=13．
则S4=
下面证明：存在正整数M=3，使得对任意的n＞M都有2＜Sn＜3（n∈N*）．
①∵Sn=
∴数列{Sn}是单调递增数列，
因此使得对任意的n＞M都有2＜Sn（n∈N*）．
②
∴当n≥6时，
∴Sn＜1+
综上可得：存在正整数M，使得对任意的n＞M都有2＜Sn＜3（n∈N*）．
解析
证明：∵a1=
∴a3=a1+a2=1+2=3，同理可得a4=5，a5=8，a6=13．
则S4=
下面证明：存在正整数M=3，使得对任意的n＞M都有2＜Sn＜3（n∈N*）．
①∵Sn=
∴数列{Sn}是单调递增数列，
因此使得对任意的n＞M都有2＜Sn（n∈N*）．
②
∴当n≥6时，
∴Sn＜1+
综上可得：存在正整数M，使得对任意的n＞M都有2＜Sn＜3（n∈N*）．
观察1，1+3，1+3+5，1+3+5+7的值；猜测1+3+5+…+（2n-1）的结果；用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：猜想1+3+5+7+…+（2n-1）=n2．
证明：（1）当n=1时，猜想左边=1，右边=1，猜想成立；
（2）假设当n=k时，1+3+5+7+…+（2n-1）=k2，猜想成立．
当n=k+1时，1+3+5+7+…+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2，
这就是说当n=k+1时，猜想成立．
所以当n∈N*命题都成立．
解析
解：猜想1+3+5+7+…+（2n-1）=n2．
证明：（1）当n=1时，猜想左边=1，右边=1，猜想成立；
（2）假设当n=k时，1+3+5+7+…+（2n-1）=k2，猜想成立．
当n=k+1时，1+3+5+7+…+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2，
这就是说当n=k+1时，猜想成立．
所以当n∈N*命题都成立．
设n个正数a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an（n∈N*且n≥3）．
（1）当n=3时，证明：
（2）当n=4时，不等式
正确答案
（1）证明：因为an（n∈N*且n≥3）均为正实数，
左-右=
所以，原不等式
（2）解：归纳的不等式为：
记
当n=3（n∈N*）时，由（1）知，不等式成立；
假设当n=k（k∈N*且k≥3）时，不等式成立，即
则当n=k+1时，
=
=
=
因为ak+1≥ak，
所以Fk+1≥0，
所以当n=k+1，不等式成立． …（9分）
综上所述，不等式
解析
（1）证明：因为an（n∈N*且n≥3）均为正实数，
左-右=
所以，原不等式
（2）解：归纳的不等式为：
记
当n=3（n∈N*）时，由（1）知，不等式成立；
假设当n=k（k∈N*且k≥3）时，不等式成立，即
则当n=k+1时，
=
=
=
因为ak+1≥ak，
所以Fk+1≥0，
所以当n=k+1，不等式成立． …（9分）
综上所述，不等式
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