- 数学归纳法
- 共1204题
（2015春•淮安期末）已知f（n）=（1+
（1）当m=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．
正确答案
解：（1）当n=1时，f（1）=2，g（1）=
当n=2时，f（2）=
当n=3时，f（3）=
（2）猜想：f（n）＞g（n），（n∈N*）．即（1+
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即（1+
则当n=k+1时，f（k+1）=（1+
∴当n=k+1时，猜想也成立．
综上可知：对n∈N*，猜想均成立．
解析
解：（1）当n=1时，f（1）=2，g（1）=
当n=2时，f（2）=
当n=3时，f（3）=
（2）猜想：f（n）＞g（n），（n∈N*）．即（1+
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即（1+
则当n=k+1时，f（k+1）=（1+
∴当n=k+1时，猜想也成立．
综上可知：对n∈N*，猜想均成立．
利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n-1）（n∈N*）”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是（ ）
正确答案
解析
解：假设n=k时等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2k×1×3×…×（2k-1）（k∈N*），
则当n=k+1时，应有[（k+1）+1][（k+1）+2][（k+1）+3）]•…[（k+1）+（k+1）]=2k+1×1×3×…×[2（k+1）-1]（k∈N*），
即（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）=（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）•
∴从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是
故选D．
已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N*．用数学归纳法证明：
正确答案
证明：（1）当n=2时，左边-右边=
（2）假设当n=k（k∈N*，k＞1）时，不等式成立，即
因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N*，
所以（ak+1+bk+1）-（akb+abk）=（ak-bk）（a-b）≥0，于是ak+1+bk+1≥akb+abk．（6分）
当n=k+1时，
即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）
综合（1），（2）知，对于a＞0，b＞0，n＞1，n∈N*，不等式
（11分）
解析
证明：（1）当n=2时，左边-右边=
（2）假设当n=k（k∈N*，k＞1）时，不等式成立，即
因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N*，
所以（ak+1+bk+1）-（akb+abk）=（ak-bk）（a-b）≥0，于是ak+1+bk+1≥akb+abk．（6分）
当n=k+1时，
即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）
综合（1），（2）知，对于a＞0，b＞0，n＞1，n∈N*，不等式
（11分）
设a＞2，给定数列
（1）xn＞2，且xn+1＜xn（n∈N*）；
（2）如果
正确答案
证明：（1）使用数学归纳法证明xn＞2
当n=1时，x1=a＞2命题成立；
假设当n=k（k∈N*）时命题成立，即xk＞2，且xk+1＜xk．
当n=k+1时，
即xk+1＞2
综上对一切n∈N*，有xn＞2．（4分）
当xn＞2时，
∴xn+1＜xn（n∈N*）（6分）
（2）因为xn＞2，所以
故
由此可得
∴
当2＜a≤3时，
解析
证明：（1）使用数学归纳法证明xn＞2
当n=1时，x1=a＞2命题成立；
假设当n=k（k∈N*）时命题成立，即xk＞2，且xk+1＜xk．
当n=k+1时，
即xk+1＞2
综上对一切n∈N*，有xn＞2．（4分）
当xn＞2时，
∴xn+1＜xn（n∈N*）（6分）
（2）因为xn＞2，所以
故
由此可得
∴
当2＜a≤3时，
用数学归纳法证明不等式2n＞n2时，第一步需要验证n0=（ ）时，不等式成立．
正确答案
解析
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12=1，2n＞n2不成立，
n=2时，左=22=4，右=22=4，2n＞n2不成立，
n=3时，左=23=8，右=32=9，2n＞n2不成立，
n=4时，左=24=16，右=42=16，2n＞n2不成立，
n=5时，左=25=32，右=52=25，2n＞n2成立，
因为n＞5成立，所以2n＞n2恒成立．
故选A．
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