- 数学归纳法
- 共1204题
求证：4n+2n≥2•3n （n∈N*）
正确答案
证明：①n=1时，4+2=6=2×3成立；
②假设n=k时结论成立，即4k+2k≥2•3k，
则n=k+1时，左边=4k+1+2k+1=2（4k+2k）+2•4k≥4•3k+2•4k＞4•3k+2•3k=2•3k+1，
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知4n+2n≥2•3n （n∈N*）．
解析
证明：①n=1时，4+2=6=2×3成立；
②假设n=k时结论成立，即4k+2k≥2•3k，
则n=k+1时，左边=4k+1+2k+1=2（4k+2k）+2•4k≥4•3k+2•4k＞4•3k+2•3k=2•3k+1，
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知4n+2n≥2•3n （n∈N*）．
已知数列{an}的通项公式为an=
（1）求Sn；
（2）证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
正确答案
解：（1）由已知得，
Sn=b1+b2+…+bn=
两式相减得，
化简得Sn=2-
（2）由（1）|Sn-2|=
因而|Sn-2|
采用数学归纳法．
①当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2n=26=64，48＜64，
此时不等式成立，…（10分）
②假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2k，…（11分）
那么当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k（k+2）=2k2+4k=k2+4k+k2＞k2+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）（k+1）+2
这说明，当n=k+1时不等式也成立…（13分）
综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2n，成立，原命题得证．…（14分）
解析
解：（1）由已知得，
Sn=b1+b2+…+bn=
两式相减得，
化简得Sn=2-
（2）由（1）|Sn-2|=
因而|Sn-2|
采用数学归纳法．
①当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2n=26=64，48＜64，
此时不等式成立，…（10分）
②假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2k，…（11分）
那么当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k（k+2）=2k2+4k=k2+4k+k2＞k2+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）（k+1）+2
这说明，当n=k+1时不等式也成立…（13分）
综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2n，成立，原命题得证．…（14分）
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．用数学归纳法证明：
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=
∴等式成立．（2分）
（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，
即
则当n=k+1时，左边=1×2×3+2×3×4++k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
∴n=k+1时，等式也成立．（8分）
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．（10分）
解析
证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=
∴等式成立．（2分）
（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，
即
则当n=k+1时，左边=1×2×3+2×3×4++k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
∴n=k+1时，等式也成立．（8分）
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．（10分）
用数学归纳法证明“Sn=
A
B
C
D1
正确答案
解析
解：不等式中分式的分母是从n+1逐步递增大1到2n结束，所以当n=2时，分式的分母从3到4结束，
所以S2的值为：
故选C．
已知f（x）=3x2-ex，函数f（x）的零点从小到大依次为xi，i=1，2，…
（Ⅰ）若xi∈[m，m+1）（m∈Z），试写出所有的m值；
（Ⅱ）若g（x）=
（Ⅲ）若h（x）=-
正确答案
解：（Ⅰ）
所以m=-1，0，3…（3分）
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，0＜x2＜1，f（x2）=3x22-
即
所以0＜g（0）＜g（x2）=x2＜g（1）＜1①
下面用数学归纳法证明0＜a1＜a2＜a3＜…＜an＜x2
由式①知，0＜a1＜x2，所以0＜g（0）＜g（a1）＜g（x2），
即0＜a1＜a2＜x2，所以，当n=1，2时，命题成立
假设n=k（k≥2）时命题成立，即0＜a1＜a2＜a3＜…＜ak＜x2②
当n=k+1时，由式②得0＜g（0）＜g（a1）＜g（a2）＜g（a3）＜…＜g（ak）＜g（x2）
即0＜a1＜a2＜a3＜…＜ak＜ak+1＜x2
当n=k+1时，命题也成立，
所以a1＜a2＜…＜an＜x2…（7分）
（Ⅲ）
进而可得-1＜h（0）＜h（b2）＜h（x1）＜h（b1）＜0，
即-1＜b1＜b3＜x1＜b2＜0，又可得-1＜h（0）＜h（b2）＜h（x1）＜h（b3）＜h（b1）＜0
即-1＜b1＜b3＜x1＜b4＜b2＜0，所以可得b1＜b3＜…＜b2n-1＜x1＜b2n＜…＜b4＜b2…（3分）
解析
解：（Ⅰ）
所以m=-1，0，3…（3分）
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，0＜x2＜1，f（x2）=3x22-
即
所以0＜g（0）＜g（x2）=x2＜g（1）＜1①
下面用数学归纳法证明0＜a1＜a2＜a3＜…＜an＜x2
由式①知，0＜a1＜x2，所以0＜g（0）＜g（a1）＜g（x2），
即0＜a1＜a2＜x2，所以，当n=1，2时，命题成立
假设n=k（k≥2）时命题成立，即0＜a1＜a2＜a3＜…＜ak＜x2②
当n=k+1时，由式②得0＜g（0）＜g（a1）＜g（a2）＜g（a3）＜…＜g（ak）＜g（x2）
即0＜a1＜a2＜a3＜…＜ak＜ak+1＜x2
当n=k+1时，命题也成立，
所以a1＜a2＜…＜an＜x2…（7分）
（Ⅲ）
进而可得-1＜h（0）＜h（b2）＜h（x1）＜h（b1）＜0，
即-1＜b1＜b3＜x1＜b2＜0，又可得-1＜h（0）＜h（b2）＜h（x1）＜h（b3）＜h（b1）＜0
即-1＜b1＜b3＜x1＜b4＜b2＜0，所以可得b1＜b3＜…＜b2n-1＜x1＜b2n＜…＜b4＜b2…（3分）
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