- 数学归纳法
- 共1204题
已知f（n）=32n+2-8n-9，存在m∈N*，使对任意n∈N*，都有m整除f（n），则m的最大值为______．
正确答案
64
解析
解：f（1）=34-8-9=64，
f（2）=36-16-9=64×11，
f（3）=38-24-9=64×102，
故m的最大值为64．
故答案为：64．
已知数列{an}满足a1=1，且3an+1-8an+1an+5an=2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（Ⅰ）由3an+1-8an+1an+5an=2得，
因为a1=1，所以
同理
（Ⅱ）猜想
证明：①当n=1时，猜想成立．…（7分）
②设当n=k时（n∈N*）时，猜想成立，即
则当n=k+1时，有
=
所以当n=k+1时猜想也成立
综合①②，猜想对任何n∈N*都成立 …（14分）
解析
解：（Ⅰ）由3an+1-8an+1an+5an=2得，
因为a1=1，所以
同理
（Ⅱ）猜想
证明：①当n=1时，猜想成立．…（7分）
②设当n=k时（n∈N*）时，猜想成立，即
则当n=k+1时，有
=
所以当n=k+1时猜想也成立
综合①②，猜想对任何n∈N*都成立 …（14分）
已知x，y∈R，x+y＜2则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为____________．
正确答案
x
y都大于1
解析
解：已知x，y∈R，x+y＜2则x，y中至多有一个大于1，
在用反证法证明时，假设应为 x，y都大于1．
故答案为：x，y都大于1．
数列{an}的前n项和为Sn，满足an=
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
正确答案
解：（Ⅰ）a2=
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式为an=
下面用数学归纳法进行证明：
（1）当n=1时，a1=
（2）假设当n=k时，ak=
则当n=k+1时，由ak+1=
由ak=
两式作差得：Sk+1-Sk=（k+1）（2k+1）ak+1-k（2k-1）ak，
即ak+1=
综上所述，对一切正的自然数都有an=
解析
解：（Ⅰ）a2=
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式为an=
下面用数学归纳法进行证明：
（1）当n=1时，a1=
（2）假设当n=k时，ak=
则当n=k+1时，由ak+1=
由ak=
两式作差得：Sk+1-Sk=（k+1）（2k+1）ak+1-k（2k-1）ak，
即ak+1=
综上所述，对一切正的自然数都有an=
用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=
正确答案
解析
解：在等式 
当n=1时，n+3=4，
而等式左边起始为1的连续的正整数的和，
故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4
故选D．
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