- 数学归纳法
- 共1204题
利用数学归纳法证明不等式1+
正确答案
解析
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n=2时，不等式左边为1+
故选：C．
证明：1+
正确答案
证明：①当n=1，不等式显然成立．…（2分）
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时不等式成立，
即
当n=k+1时，
左边=
=
即n=k+1时，不等式成立．…（7分）
由①②可知，对一切n∈N*都有
解析
证明：①当n=1，不等式显然成立．…（2分）
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时不等式成立，
即
当n=k+1时，
左边=
=
即n=k+1时，不等式成立．…（7分）
由①②可知，对一切n∈N*都有
有以下四个命题：
（1）2n＞2n+1（n≥3）；
（2）2+4+6+…+2n=n2+n+2（n≥1）；
（3）凸n边形内角和为f（n）=（n-1）π（n≥3）；
（4）凸n边形对角线条数f（n）=
其中满足“假设n=k（k∈N，k≥n0）．时命题成立，则当n=k+1时命题也成立．”但不满足“当n=n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是______．
正确答案
（2）（3）
解析
解：对于命题（1）2n＞2n+1（n≥3）；当n=3的时候有8＞7，故当n等于给定的初始值成立，所以不满足条件．
对于命题（2）2+4+6+…+2n=n2+n+2（n≥1）；假设n=k时命题成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+2，当n=k+1时有2+4+6+…+2k+2（k+1）=k2+k+2+2（k+1）=k2+2k+1+k+3=（k+1）2+（k+1）+2．故对n=k+1时命题也成立．对于初始值n=1时有4≠4+2+2，不成立．所以满足条件．
对于命题（3）凸n边形内角和为f（n）=（n-1）π（n≥3）；假设n=k时命题成立，即f（k）=（k-1）π，当n=k+1时有f（k+1）=
f（k）+π=kπ故对n=k+1时命题也成立，对于初始值n=3内角和为π，不成立．故满足条件．
对于命题（4）凸n边形对角线条数f（n）=
故答案为（2）（3）．
已知数列{an}满足条件（n-1）an+1=（n+1）（an-1），且a2=6，
（1）计算a1、a3、a4，请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设bn=an+n（n∈N*），求
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=1，且a2=6
当n=2时，a3=3（a2-1）=15，
当n=3时，2a4=4（a3-1），∴a4=28，…（2分）
猜测
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1，2，3，4时，等式
ⅱ假设当n=k时，
则由（k-1）ak+1=（k+1）（ak-1），有：
即n=k+1时，等式也成立
综上，
（2）bn=an+n=2n2
∴bn-2=2（n-1）（n+1）…（8分）
∴
∴
=
解析
解：（1）当n=1时，a1=1，且a2=6
当n=2时，a3=3（a2-1）=15，
当n=3时，2a4=4（a3-1），∴a4=28，…（2分）
猜测
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1，2，3，4时，等式
ⅱ假设当n=k时，
则由（k-1）ak+1=（k+1）（ak-1），有：
即n=k+1时，等式也成立
综上，
（2）bn=an+n=2n2
∴bn-2=2（n-1）（n+1）…（8分）
∴
∴
=
数列{an}的通项an=（-1）n+1•n2，观察以下规律：
a1=1
a1+a2=1-4=-3=-（1+2）
a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3
…
试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：Sn=a1+a2+a3+…+an=（-1）n+1•
证明：（1）当n=1时，Sn=1命题成立；
（2）假设当n=k时命题成立，即Sk=（-1）k+1•
则当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=（-1）k+1•
=（-1）k+2
综上（1）（2），命题成立．
解析
解：Sn=a1+a2+a3+…+an=（-1）n+1•
证明：（1）当n=1时，Sn=1命题成立；
（2）假设当n=k时命题成立，即Sk=（-1）k+1•
则当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=（-1）k+1•
=（-1）k+2
综上（1）（2），命题成立．
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