- 数学归纳法
- 共1204题
已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N+）．请用数学归纳法证明：当n∈N+时，an＜an+1．
正确答案
证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．
②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，
因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），
所以ak+1＜ak+2．
即当n=k+1时，an＜an+1也成立．
根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．
解析
证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．
②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，
因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），
所以ak+1＜ak+2．
即当n=k+1时，an＜an+1也成立．
根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．
数列{an}中，a1=-
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想an的表达式并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）∵a1=-
∴a2=-
（2）由（1）可以猜想an=-
用数学归纳法证明：
ⅰ）当n=1时，a1=-
ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=-
当n=k+1时，ak+1=-
所以当n=k+1时猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．
所以an=-
解析
解：（1）∵a1=-
∴a2=-
（2）由（1）可以猜想an=-
用数学归纳法证明：
ⅰ）当n=1时，a1=-
ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=-
当n=k+1时，ak+1=-
所以当n=k+1时猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．
所以an=-
用数学归纳法证明：（1+1）（1+
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=2，右边=
（2）假设当n=k时，原式成立，即：（1+1）（1+
当n=k+1时，（1+1）（1+
即n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立．
解析
证明：（1）当n=1时，左边=2，右边=
（2）假设当n=k时，原式成立，即：（1+1）（1+
当n=k+1时，（1+1）（1+
即n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立．
试用数学归纳法证明
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=
（2）假设当n=k时，原式成立，即
当n=k+1时，
∵-
∴-
∴
即n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立
∴
解析
证明：（1）当n=1时，左边=
（2）假设当n=k时，原式成立，即
当n=k+1时，
∵-
∴-
∴
即n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立
∴
设数列{an}满足an+1=an2-nan+1（n∈N*）
（1）当a1=2时，求a2、a3、a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
（2）当a1≥2时，证明：对∀n∈N*，有an≥n+1．
正确答案
解：（1）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5
故猜想an=n+1；
（2）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1≥2=1+1，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+1，
那么ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2．
也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+1
据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+1．
解析
解：（1）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5
故猜想an=n+1；
（2）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1≥2=1+1，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+1，
那么ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2．
也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+1
据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+1．
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