热门试卷

解：∵an+1=2nan-an2+2，

∴a2=2a1-a12+2、2-1+2=3，

a3=4a2-a22+2=12-9+2=5，

a4=6a3-a32+2=30-25+2=7，

故猜想an=2n-1，

证明：当n=1，a1=2-1=1，命题成立，

若n=k，命题成立，即ak=2k-1，

则当n=k+1时，ak+1=2kak-ak2+2=2k（2k-1）-（2k-1）2+2=4k2-2k-4k2+4k-1+2=2k+1=2（k+1）-1，

故当n=k+1时，命题也成立，

综上对于n∈N•，an=2n-1成立．

证明：f（n）=（2-xn）xn，g（x）=xn（2-x）n（2分）

比较f（n）与g（n）的大小，即比较2-xn与（2-x）n的大小．         （3分）

猜想：（2-x）n≥2-xn（当且仅当n=1时，等号成立）           （5分）

下面用数学归纳法加以证明：

（1）当n=1时，显然（2-x）1≥2-x，成立，n=2时，左边=（2-x）2=4-4x+x2，右边=2-x2，

因为4-4x+x2-2+x2=2（1-2x+x2）=2（1-x）2＞0，成立．                   （7分）

（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，猜想成立，即（2-x）k＞2-xk（8分）

当n=k+1时，（2-x）k+1=（2-x）（2-x）k＞（2-x）（2-xk）（注：0＜x＜1）

要证猜想成立，只需证明（2-x）（2-xk）＞2-xk+1（11分）

即证xk+1-xk-x+1＞0亦即（x-1）（xk-1）＞0

由0＜x＜1易得上式成立，即n=k+1时，猜想成立．          （13分）

综上（1）（2）可知，猜想成立．                            （14分）

（另证：令x=1-t，要证（2-x）n＞2-xn，即证（1-t）n+（1+t）n＞2，由二项式定理展开，易得证．酌情给分）

证明：1°、当n=2时，等式左边=2+f（1）=2+1=3

等式右边=2f（2）=2（1+）=3，∴原式成立；…（4分）

2°、假设n=k（k≥2）成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）…（6分）

则当n=k+1时，

等式左边=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）

=k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+f（k）+1…（10分）

=（k+1）f（k）+1=（k+1）[f（k）+=（k+1）f（k+1）

即当n=k+1时，等式也成立．…（12分）

综上1°，2°可得当n≥2，n∈N*时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）均成立…（14分）

解：（1）∵S1=a1=，2Sn=SnSn-1+1（n≥2），

∴2S2=S2S1+1=S2+1，

∴S2=；

∴2S3=S3S2+1=S3+1，

∴S3=；

（2）由S1=，S2=，S3=，可猜想Sn=；

证明：①当n=1时，S1=，等式成立；

②假设n=k时，Sk=，

则n=k+1时，∵2Sk+1=Sk+1•Sk+1=•Sk+1+1，

∴（2-）Sk+1=1，

∴Sk+1==，

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，对任意n∈N*，均有Sn=．