热门试卷

解：（Ⅰ）由，解得x＜-1或x＞1，∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，

∴在定义域上是奇函数．

（Ⅱ）由x∈[2，4]时，恒成立，

①当a＞1时，∴对x∈[2，4]恒成立，

∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，

则g（x）=-x3+7x2+x-7，，

∴当x∈[2，4]时，g‘（x）＞0，∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）min=g（2）=15，∴0＜m＜15．

②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，恒成立，

∴对x∈[2，4]恒成立，∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．

设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，

g（x）max=g（4）=45，∴m＞45．

（Ⅲ）∵=，∴

当n=2时，，2n-2=2，∴af（2）+f（3）+…+f（n）＞2n-2，

当n=3时，，2n-2=6，∴af（2）+f（3）+…+f（n）=2n-2，

当n≥4时，2n-2，下面证明：当n≥4时，2n-2．

证明：当n≥4时，2n-2=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn-2=Cn1+Cn2+…+Cnn-1，

∴当n≥4时，2n-2．

解：（1）∵a2=6且 =n，

∴=1，=2，=3，..1′

解得a1=1，a3=15，a4=28，…3′

（2）由此猜想an=n（2n-1）…4′

下面用数学归纳法加以证明：

①当n=1时，a1=1×（2×1-1）=1，结论正确；

当n=2时，a2=2×（2×2-1）=6，结论正确；…5′

②假设n=k（k≥2）时结论正确，即ak=k（2k-1），

则当n=k+1时，

∵=k，

∴（k-1）ak+1=（k+1）ak-（k+1）

=（k+1）k（2k-1）-（k+1）

=（k+1）（2k2-k-1）

=（k+1）（2k+1）（k-1），

∵k-1≠0，

∴ak+1=（k+1）（2k+1）=（k+1）[2（k+1）-1]，

即当n=k+1时，结论正确…7′

由①②可知，数列{an}的通项公式为：an=n（2n-1）…8′

（3）∵==[-]…10′

∴（++…+ ）=（1-）=…12′

证明：（Ⅰ）令g（x）=lnx-x+1，则g′（x）=

当0＜x＜1时，g′（x）＞0，∴函数y=g（x）在0＜x＜1时为增函数，

∴0＜x＜1时，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0；

当x＞1时，g′（x）＜0，∴函数y=g（x）在x＞1时为减函数，

∴x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0，

则当x＞1时，0＜lnx＜x-1，∴＞1，即f（x）＞1；                …（5分）

（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2nlnan≥1

ⅰ）当n=1时，a1=，知=1，∴n=1时，命题成立

ⅱ）假设n=k时，命题成立．即2klnak≥1

要证明n=k+1时，命题成立．即证明2k+1lnak+1≥1，只需证明ak+1≥

依题意知ak+1=，即证明：≥

f′（x）=

x＞1时，有0＜＜1，由（Ⅰ）可知ln-+1＜0，

∴当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数x＞1时为增函数

由归纳假设2klnak≥1，即ak≥＞1，

∴f（ak）≥f（）=…（1）

依题意知ak+1=f（ak），故又只需证明f（）＞，

构造函数h（x）=ex-1-x，h′（x）=（-1-）

＞1，由（Ⅰ）知ln-+1＜0，即-1-＞0，∴h′（x）＞0

∴函数y=h（x），x＞0为增函数，∴h（）＞h（0）=0，

则f（）=＞ …（2），

由（1）（2）及题意知ak+1≥，即2k+1lnak+1≥1

综合（ⅰ）ⅱ）知，有2nlnan≥1成立．

解：（1）∵an=（n∈Nx），bn=（1-a1）（1-a2）…（1-an），

∴b1=1-a1=1-=，b2==，=，=．

（2）由（1）的值归纳得：．

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，b1==，等式成立．

②假设当n=k时等式成立，即．

当n=k+1时，bk+1=bk（1-ak+1）====，

即当n+1时，等式也成立．

由①②知，对任何正整数n有得：成立．