- 数学归纳法
- 共1204题
求证：
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=
（2）假设当n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时，左边=
=
这就是说，当n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．-----------------------（14分）
解析
证明：（1）当n=1时，左边=
（2）假设当n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时，左边=
=
这就是说，当n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．-----------------------（14分）
请用数学归纳法证明：1+3+6+…+
正确答案
证明：①n=1时，左边=1，右边=
②假设n=k时，结论成立，即：1+3+6+…+
则n=k+1时，等式左边=1+3+6+…+
故n=k+1时，等式成立
由①②可知：1+3+6+…+
解析
证明：①n=1时，左边=1，右边=
②假设n=k时，结论成立，即：1+3+6+…+
则n=k+1时，等式左边=1+3+6+…+
故n=k+1时，等式成立
由①②可知：1+3+6+…+
用数学归纳法证明时，设f（k）=1×4+2×7+…+k（3k+1）=k（k+1）2，则f（k+1）-f（k）______．
正确答案
（k+1）（3k+4）
解析
解：因为f（k）=1×4+2×7+…+k（3k+1），
所以f（k+1）-f（k）=[1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）]-[1×4+2×7+…+k（3k+1）=
=（k+1）（3k+4）．
故答案为：（k+1）（3k+4）．
试比较（n+1）2与3n（n∈N*）的大小，并给出证明（结合数学归纳法）．
正确答案
解：当n=1时，（1+1）2＞31；
当n=2时，（2+1）2=32；
当n=3时，（3+1）2＜33；
当n=4时，（4+1）2＜34，
猜想n≥3时，（n+1）2＜3n（n∈N*），
证明：①当n=3时，左边为16，右边为27，显然成立，
②假设当n=k（k＞3）有（k+1）2与3k（k∈N*）成立，
当n=k+1时，3k+1=3k•3＞3（k+1）2，
而3（k+1）2-（k+2）2=3k2+6k+3-k2-4k-4
=2k2+2k-1，
由于k≥4，则2k-1＞0，即有3（k+1）2＞（k+2）2，
即3k+1＞（k+2）2．
由①②知，对任意的n≥3，（n+1）2＜3n（n∈N*）成立．
解析
解：当n=1时，（1+1）2＞31；
当n=2时，（2+1）2=32；
当n=3时，（3+1）2＜33；
当n=4时，（4+1）2＜34，
猜想n≥3时，（n+1）2＜3n（n∈N*），
证明：①当n=3时，左边为16，右边为27，显然成立，
②假设当n=k（k＞3）有（k+1）2与3k（k∈N*）成立，
当n=k+1时，3k+1=3k•3＞3（k+1）2，
而3（k+1）2-（k+2）2=3k2+6k+3-k2-4k-4
=2k2+2k-1，
由于k≥4，则2k-1＞0，即有3（k+1）2＞（k+2）2，
即3k+1＞（k+2）2．
由①②知，对任意的n≥3，（n+1）2＜3n（n∈N*）成立．
函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；
（3）若f（1）≥1，求证：
正确答案
解：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0
（2）f（1）=1，
猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之．
①当n=1时猜想成立．
②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k2，
那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+2k+1=（k+1）2．
这就是说n=k+1时猜想也成立．
对于一切n≥1，n∈N+猜想都成立．
（3）f（1）≥1，则
假设n=k（k∈N*）时命题成立，即
由上知，则
解析
解：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0
（2）f（1）=1，
猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之．
①当n=1时猜想成立．
②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k2，
那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+2k+1=（k+1）2．
这就是说n=k+1时猜想也成立．
对于一切n≥1，n∈N+猜想都成立．
（3）f（1）≥1，则
假设n=k（k∈N*）时命题成立，即
由上知，则
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