热门试卷

解：（1），，，，由此猜想：．

（2）证明：①当n=1时，，猜想成立；

②假设当n=k（k≥1）时，猜想成立，即，则当n=k+1时，，

这表明当n=k+1时，猜想仍成立． 根据①②，猜想对任意的n∈N*都成立．

（1）解：∵g（x）=αlnx+（1-α）ln（1-x），

∴g′（x）==（0＜x＜1），

∴当x∈（0，α）时，g‘（x）＞0，当x∈（α，1）时，g'（x）＜0．

即g（x）在（0，α）上递增，在（α，1）递减．

故当x=α时，有gmax（x）=g（α）=αlnα+（1-α）ln（1-α）．（3分）

（2）证明：构造函数F（x）=αf（x1）+βf（x）-f（αx1+βx）=αlnx1+βlnx-ln（αx1+βx），则，

∴F（x）在（0，x1）上递增，在（x1，+∞）上递减，

∴当x=x1时，有Fmax（x）=F（x1）=αf（x1）+βf（x1）-f（αx1+βx1）=0，

∴F（x2）≤F（x1），即αf（x1）+βf（x2）-f（αx1+βx2）≤0，

即证αf（x1）+βf（x2）≤f（αx1+βx2）（8分）

（3）用数学归纳法证明如下：

①当n=1，2时，命题显然成立；

②假设当n=k（k≥2，k∈N）时，命题成立，即当α1+α2+…+αk-1+αk=1时，α1lnx1+α2lnx2+…+αk-1lnxk-1+αklnxk≤ln（α1x1+α2x2+…+αk-1xk-1+αkxk）．

则当n=k+1，即当α1+α2+…+αk-1+αk+αk+1=1时，，

又假设知，

即

∴α1lnx1+α2lnx2+…+αk-1lnxk-1+αklnxk+αk+1lnxk+1=ln（α1x1+α2x2+…+αk-1xk-1+αkxk+αk+1xk+1）．

这说明当n=k+1时，命题也成立．

综上①②知，当xi＞0，正数αi满足时（其中i=1，2，…n）（14分）