热门试卷

解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，

∴f（5）=25+4×4=41．…（4分）

（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，

f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f（4）=16=4×4，

由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n．…（10分）

（3）∵f（2）-f（1）=4×1，f（3）-f（2）=4×2，f（4）-f（3）=4×3，f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），f（n）-f（n-1）=4•（n-1），

∴f（n）-f（1）=4[1+2++（n-2）+（n-1）]=2（n-1）•n，…（14分）

∴f（n）=2n2-2n+1（n≥2），

∵f（1）=1也满足上式，∴f（n）=2n2-2n+1． …（16分）

解：（Ⅰ）因为点在函数的图象上，所以，所以．

令n=1，得，所以a1=2；

令n=2，得，所以a2=4；

令n=3，得，所以a3=6．

由此猜想：an=2n．（3分）

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．

②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=2k成立，

则当n=k+1时，注意到（n∈N*），

故，．

两式相减，得，所以ak+1=4k+2-ak．

由归纳假设得，ak=2k，

故ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2（k+1）．

这说明n=k+1时，猜想也成立．

由①②知，对一切n∈N*，an=2n成立． （8分）

（Ⅱ）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以 b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010． （12分）

解：设该数列为{an}，

=10n-1，=．

∴an==9+0+=9++（102n-10n）=，

∴数列的每一项都是完全平方数．