热门试卷

解：（Ⅰ）依题

⇒（an+1-an）（an+1+an）=（an-an-1）（an+an-1）

又{an}为等差数列，设公差为d，

则

故{an}是常数列．（4分）

（Ⅱ）由{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列．

即为首项为4，公差为2的等差数列，（6分）

由得         ①

  ②

（10分）

不等式即3•2n-（n+3）＞m•2n-4n-4也即（m-3）•2n＜3n+1，即恒成立

由于n=1，2，3时，3n+1＞2n；n=4时，3n+1＜2n；

假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2k，

那么2k+1=2•2k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，

由归纳法原理知：n≥4时，3k+1＜2k，

所以⇒m-3≤0，

故m的取值范围为m≤3（14分）

证明：（1）当n=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，

∵x2＞0，∴左边＞右边，原不等式成立；

（2）假设当n=k时，不等式成立，即（1+x）k＞1+kx，

则当n=k+1时，∵x＞-1，∴1+x＞0，

在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得

（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，

∴（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当n=k+1时，不等式也成立．

综合（1）（2）可得对一切正整数n，不等式都成立．

解：（Ⅰ）由题意知，，．…

由此得到一般性结论：．（或者猜测也行）．

（Ⅱ）利用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，，所以结论成立．

（2）假设n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即，

那么，n=k+1时，，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

综上所述，上述结论对n≥1，n∈N都成立，所以猜想成立．

解：（1）由已知当n≥2时，an，Sn，Sn-成等比数列，

得到，

∵a1=1，∴；

归纳n＞1时，an=；所以；

（2）证明：①当n=2时，成立；

②假设n=k时公式成立，即成立，

则n=k+1时，

∴-；

∴；

∴n=k+1时，命题成立．

由①②可得an=对n＞1的一切正整数都成立．