热门试卷

证明：（1）当n=1时，左边==＞，不等式成立；

（2）假设当n=k时，不等式成立，即+…+＞．

则当n=k+1时，

有左边=++…+=+…++++-＞++-

∵+=＞

∴+-＞0

∴当n=k+1时不等式也成立．

由（1）（2）知，对一切正整数n，结论成立．

证明：（Ⅰ）由bn=an-1得an=bn+1，代入an-1=an（an+1-1）得bn=（bn+1）bn+1

整理得bn-bn+1=bnbn+1，（1分）

∵bn≠0否则an=1，与a1=2矛盾

从而得，（3分）

∵b1=a1-1=1

∴数列是首项为1，公差为1的等差数列（4分）

（Ⅱ）∵，则．

∴

∴Tn=S2n-Sn=

=（6分）

∵

==

∴Tn+1＞Tn．（8分）

（Ⅲ）用数学归纳法证明：

①当n=1时，不等式成立；（9分）

②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即，

那么当n=k+1时，==（12分）

=

∴当n=k+1时，不等式成立

由①②知对任意的n∈N*，不等式成立（14分）

解：由n•2n-1=a1+a2+…+an（n∈N*），可得：

当n=1时，a1=1；当n=2时，2×2=+a2，解得a2=2；同理可得a3=3．

猜想：an=n（n∈N*）．

下面利用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，显然成立；

（2）假设当n=k（k∈N*）时，ak=k；

则当n=k+1时，（k+1）•2k=+2+…++ak+1，

根据=，

∴（k+1）•2k=++…++ak+1=（k+1）（2k-1）+ak+1，

∴ak+1=k+1．

∴当n=k+1时，命题成立．

综上可得：an=n（n∈N*）成立．

解：设

∵===

∴f（n）递增，∴f（n）最小为

∵f（n）＞5-2t对一切正整数n都成立，∴，∴自然数t≥2

∴自然数t的最小值为2                 …（7分）

下面用数学归纳法证明

（1）当n=1时，左边=，∴n=1时成立

（2）假设当n=k时成立，即

那么当n=k+1时，左边===

∴n=k+1时也成立

根据（1）（2）可知成立 …（14分）

注：第（1）小题也可归纳猜想得出自然数t的最小值为2