- 数学归纳法
- 共1204题
已知数列{an}中的相邻两项a2k-1、a2k是关于x的方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k（k∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7及写出a2n（n∈N*且n≥4）（不必证明）；
（Ⅱ）对于任意n∈N*且n≥4，猜想a2n与（2n）2的大小关系．
正确答案
解：（Ⅰ）方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为
当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2； 当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；
当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8； 当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12；
因为n≥4时，2n＞3n，所以
（Ⅱ）当n=4时，
当n=5时，
当n=6时，
当n=7时，
当n=8时，
当n=9时，
所以猜想：当4≤n＜7时，
当n=8时，
当n≥9时，
解析
解：（Ⅰ）方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为
当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2； 当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；
当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8； 当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12；
因为n≥4时，2n＞3n，所以
（Ⅱ）当n=4时，
当n=5时，
当n=6时，
当n=7时，
当n=8时，
当n=9时，
所以猜想：当4≤n＜7时，
当n=8时，
当n≥9时，
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且Sn-1+
（1）写出S1，S2，S3，S4．（不用写求解过程）
（2）猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：由已知得（1）
（2）猜想
下面用数学归纳法证明：①
②假设当n=k（k∈N★）猜想成立，即
那么∵
∴
∴
由①和②，可知猜想对任何n∈N★都成立．
解析
解：由已知得（1）
（2）猜想
下面用数学归纳法证明：①
②假设当n=k（k∈N★）猜想成立，即
那么∵
∴
∴
由①和②，可知猜想对任何n∈N★都成立．
用数学归纳法证明等式1（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=
正确答案
证明：（1）当n=1时，由以上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即1（k2-12）+2（k2-22）+…+k（k2-k2）=
则当n=k+1时，1[（k+1）2-12]+2[（k+1）2-22]+…+（k+1）[（k+1）2-（k+1）2]=
=1（k2-12）+2（k2-22）+…+k（k2-k2）+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=
由（1）（2）知，等式对一切正整数n都成立．
解析
证明：（1）当n=1时，由以上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即1（k2-12）+2（k2-22）+…+k（k2-k2）=
则当n=k+1时，1[（k+1）2-12]+2[（k+1）2-22]+…+（k+1）[（k+1）2-（k+1）2]=
=1（k2-12）+2（k2-22）+…+k（k2-k2）+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=
由（1）（2）知，等式对一切正整数n都成立．
已知数列{an}满足：a1=
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想数列{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
正确答案
解：（1）由a1=
（2）由以上结果猜测：an=
①当n=1时，左边=a1=
②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=
那么，当n=k+1时，ak+1ak-2ak+1+1=0，所以ak+1•
这就是说，当n=k+1时等式成立．
由①和②，可知猜测an=对于任意正整数n都成立．（12分）
解析
解：（1）由a1=
（2）由以上结果猜测：an=
①当n=1时，左边=a1=
②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=
那么，当n=k+1时，ak+1ak-2ak+1+1=0，所以ak+1•
这就是说，当n=k+1时等式成立．
由①和②，可知猜测an=对于任意正整数n都成立．（12分）
数列{an}满足
（1）写出a2，a3，a4；
（2）猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）令n=2，∵
令n=3，得
令n=4，得
（2）猜想
①当n=1时，
②假设当n=k时，结论成立，即
则当n=k+1时，
=
即
∴
∴
∴当n=k+1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N+都有
解析
解：（1）令n=2，∵
令n=3，得
令n=4，得
（2）猜想
①当n=1时，
②假设当n=k时，结论成立，即
则当n=k+1时，
=
即
∴
∴
∴当n=k+1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N+都有
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