热门试卷

解：（1）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3

由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4

由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5

（1）用数学归纳法证明

①由a1=2=1+1知n=1时，an=n+1成立

设n=k（k属于正整数）时an=n+1成立，即ak=k+1

则当n=k+1时，因为an+1=an2-nan+1，

所以ak+1=ak2-k（k+1）+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k2+2k+1-k2-k+1=k+2

综上，an=n+1成立

解：（1）根据多项式乘法的运算法则，fn（x）的展开式中x项的系数为an=2+22+23+…+2n=2n+1-2．

（2）用为an、bn分别是fn（x）的展开式中x项、x2项的系数，则可设fn（x）=1+anx+bnx2+…，则

fn+1（x）=fn（x）•（1+2n+1）=1+（an+2n+1）x+（bn+2n+1•an）x2+…，

∴bn+1=bn+2n+1an．

（3）假设存在a、b，使得bn=（2n-1-1）（2na+b）对一切n≥2且n∈N*恒成立，则

b2=（2-1）（22a+b），即4a+b=b2．①

同理8a+b=b3．②

又由f2（x）=1+6x+8x2，得a2=6，b2=8．从而b3=56，

代入①、②得a=1，b=-1．　　

猜想：bn=（2n-1-1）（2n-1）（n≥2）． 

证明如下：（i）n=2时，已经证明成立；

（ii）假设n=k时结论成立，即bk=（2k-1-1）（2k-1），

则n=k+1时，bk+1=bk+2k+1ak=（2k-1-1）（2k-1）+2k+1（2k+1-2）=（2k-1）（2k+1-1），

∴n=k+1时，结论成立，

由（i）（ii）可得bn=（2n-1-1）（2n-1）（n≥2）．

解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．

∴a2==，a3==，a4==．

由此推测{an}的通项公式，an=．

下面利用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1==成立；

②假设当n=k∈N*时，ak=．

则n=k+1时，ak+1===，

因此当n=k+1时也成立，

综上：∀n∈N*，an=成立．

（2），

∴bn=（-2）n=+9，

∴无穷数列{bn}的各项之和Tn=+=-=+-．

当n=2k（k∈N*）时，Tn=+-，Tn单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．

当n=2k-1（k∈N*）时，Tn=×--，Tn单调递增，且Tn＜0．

综上可得：Tn的最大项为T2=．

解：（Ⅰ）∵an=n2，n∈N*

∴s1=a1=1，s2=a1+a2=1+4=5，s3=a1+a2+a3=1+4+9=14．…（6分）

（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=s1=1，

右边==1，

所以等式成立．…（8分）

（2）假设n=k（k∈N*）时结论成立，即Sk=，…（10分）

那么，Sk+1=Sk+（k+1）2

=+（k+1）2

=

=

=

即n=k+1时，等式也成立．…（13分）

根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N*都成立．…（14分）