- 数学归纳法
- 共1204题
用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°．
正确顺序的序号排列为______．
正确答案
③①②
解析
解：根据反证法的证法步骤知：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确
A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；
所以一个三 角形中不能有两个直角．
故顺序的序号为③①②．
故答案为：③①②．
在数列{an}中，已知a1=a（a＞2），且an+1=
（1）用数学归纳法证明：an＞2（n∈N*）；
（2）求证an+1＜an（n∈N*）．
正确答案
证明：（1）①当n=1时，a1=a＞2，命题成立．
②假设当n=k（k∈N*），命题成立，即ak＞2．
则当n=k+1时，ak+1-2=
所以当n=k+1时ak+1＞2也成立，
由①②得，对任意自然数n，都有an＞2．
（2）an+1-an=
由（1）可知an＞2＞0，
即有an+1-an＜0，
即an+1＜an（n∈N*）．
解析
证明：（1）①当n=1时，a1=a＞2，命题成立．
②假设当n=k（k∈N*），命题成立，即ak＞2．
则当n=k+1时，ak+1-2=
所以当n=k+1时ak+1＞2也成立，
由①②得，对任意自然数n，都有an＞2．
（2）an+1-an=
由（1）可知an＞2＞0，
即有an+1-an＜0，
即an+1＜an（n∈N*）．
已知f（n）=1+
（1）写出g（2），g（3），g（4）的值；
（2）归纳g（n）的值，并用数学归纳法加以证明．
正确答案
解：（1）f（1）=1，f（2）=1+
∴g（2）=
（2）由（1）猜想g（n）=n（n≥2）．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=2时成立；
②假设当n=k（k∈N*，k≥2）时，g（k）=k．
即g（k）=
∴f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）-k，
则当n=k+1时，g（k+1）=
=
=k+1．
因此当n=k+1时，命题g（k+1）=k+1成立．
综上可得：∀n∈N*，g（n）=n（n≥2）成立．
解析
解：（1）f（1）=1，f（2）=1+
∴g（2）=
（2）由（1）猜想g（n）=n（n≥2）．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=2时成立；
②假设当n=k（k∈N*，k≥2）时，g（k）=k．
即g（k）=
∴f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）-k，
则当n=k+1时，g（k+1）=
=
=k+1．
因此当n=k+1时，命题g（k+1）=k+1成立．
综上可得：∀n∈N*，g（n）=n（n≥2）成立．
已知f（n）=1+
正确答案
2k
解析
解：∵
∴f（2k+1）-f（2k）=
∴用数学归纳法证明不等式f（2n）＞
故答案为2k．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式，并加以证明．
正确答案
解：（1）因为a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈N*），所以，
当n=2时，2（a1+a2）=3a2，得a2=2；-------------------------------（2分）
当n=3时，2（a1+a2+a3）=4a3，得a3=3；-------------------------------（4分）
当n=4时，2（a1+a2+a3+a4）=5a4，得a4=4．-------------------------------（6分）
（2）猜想
由2Sn=（n+1）an①，可得2Sn-1=nan-1（n≥2）②，-------------------------（8分）
①-②，得2an=（n+1）an-nan-1，-------------------------------（9分）
所以（n-1）an=nan-1，即
也就是
解析
解：（1）因为a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈N*），所以，
当n=2时，2（a1+a2）=3a2，得a2=2；-------------------------------（2分）
当n=3时，2（a1+a2+a3）=4a3，得a3=3；-------------------------------（4分）
当n=4时，2（a1+a2+a3+a4）=5a4，得a4=4．-------------------------------（6分）
（2）猜想
由2Sn=（n+1）an①，可得2Sn-1=nan-1（n≥2）②，-------------------------（8分）
①-②，得2an=（n+1）an-nan-1，-------------------------------（9分）
所以（n-1）an=nan-1，即
也就是
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