- 数学归纳法
- 共1204题
已知数列{an}满足a1=
（1）证明：0＜an＜an+1＜1；
（2）令Ak=
正确答案
解：（1）∵a1=
∴a2=
则a3＞0，
由归纳法知an＞0，
an+1=
当且仅当an=1取等号，
∵a1=
即an+1＜1，则0＜an＜1
∵an-an+1=an-
∴an＜an+1，
即0＜an＜an+1＜1；
（2）由（1）知，{an}为正项递增数列，且an＜1；
∴kak＞a1+a2+a3+…+ak，（k≥2），
故ak-Ak＞0，
①当n=2时，
②假设当n′=n时，
则当n′=n+1时，
其中an+1-An+1=
∴
故当n′=n+1时，不等式也成立，
综上由①②得
解析
解：（1）∵a1=
∴a2=
则a3＞0，
由归纳法知an＞0，
an+1=
当且仅当an=1取等号，
∵a1=
即an+1＜1，则0＜an＜1
∵an-an+1=an-
∴an＜an+1，
即0＜an＜an+1＜1；
（2）由（1）知，{an}为正项递增数列，且an＜1；
∴kak＞a1+a2+a3+…+ak，（k≥2），
故ak-Ak＞0，
①当n=2时，
②假设当n′=n时，
则当n′=n+1时，
其中an+1-An+1=
∴
故当n′=n+1时，不等式也成立，
综上由①②得
已知数列{an}，其中
（1）写出{an}的前4项
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
正确答案
解：（1）∵a1=1，an+1=
∴a2=
同理可求，a3=
（2）由（1）猜想an=
证明：①当n=1时，a1=
②假设n=k（k＞1且k∈N*）时ak=
那么当n=k+1时，ak+1=
即：n=k+1猜想成立 …（12分）
综上所述：当n∈N*时an=
解析
解：（1）∵a1=1，an+1=
∴a2=
同理可求，a3=
（2）由（1）猜想an=
证明：①当n=1时，a1=
②假设n=k（k＞1且k∈N*）时ak=
那么当n=k+1时，ak+1=
即：n=k+1猜想成立 …（12分）
综上所述：当n∈N*时an=
用数学归纳法证明不等式
正确答案
解析
解：当n=k时，左边的代数式为
当n=k+1时，左边的代数式为
故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果，
即为不等式的左边增加的项．
故答案为：
用数学归纳法证明1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1），在验证n=1成立时，左边所得的代数式是（ ）
正确答案
解析
解：在等式 1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）中，
当n=1时，2n+1=3，
而等式左边起始为1的连续的正整数的和，
故n=1时，等式左边的项为：1+2+3，
故选C．
用数学归纳法证明斐波拉契数列的通项公式．
正确答案
证明：
当n=1时，
当n=2时，
假设对一般的n=1，2，3，4，…k时命题成立，那么当n=k+1时：
ak+1=ak-1+ak=
=
=
=
=
综上，命题对于任意的n∈N*都成立．
即斐波拉契数列的通项公式为
解析
证明：
当n=1时，
当n=2时，
假设对一般的n=1，2，3，4，…k时命题成立，那么当n=k+1时：
ak+1=ak-1+ak=
=
=
=
=
综上，命题对于任意的n∈N*都成立．
即斐波拉契数列的通项公式为
扫码查看完整答案与解析