- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证明不等式
A增加了一项
B增加了两项
C增加了两项
D增加了一项
正确答案
解析
解：当n=k时，左边的代数式为
当n=k+1时，左边的代数式为
故由n=k到n≠k+1时，不等式的左边增加了两项
故选：C．
若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，又已知命题P（2）成立，则下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立． 又已知命题P（2）成立，
可推出 P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立，
故选 B．
（2015春•湖北校级期末）用数学归纳法证明：
正确答案
证明（1）n=1时，
左边
（2）假设n=k时等式成立，
即
则n=k+1时，
左边=
=
∴n=k+1时，等式成立
由（1）（2）知，对一切
解析
证明（1）n=1时，
左边
（2）假设n=k时等式成立，
即
则n=k+1时，
左边=
=
∴n=k+1时，等式成立
由（1）（2）知，对一切
已知数列{an}中，a1=
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若不等式an+an+1+an+2+…+a3n＞
正确答案
解：（1）∵
∴sn+1-sn=an（1-an+1）∴an+1=an（1-an+1）=an-anan+1，
∴an-an+1=anan+1，
又an≠0∴
∴
．
（2）当n=1时，
而a是正整数，所以取a=25，
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
则当n=k+1时，有
=
因为
所以
所以当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有
故a的最大值为25．
解析
解：（1）∵
∴sn+1-sn=an（1-an+1）∴an+1=an（1-an+1）=an-anan+1，
∴an-an+1=anan+1，
又an≠0∴
∴
．
（2）当n=1时，
而a是正整数，所以取a=25，
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
则当n=k+1时，有
=
因为
所以
所以当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有
故a的最大值为25．
（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
①1-
②
（2）设f（x）=xn（n∈N*）．若对任意的实数x，y，f（x）-f（y）=f′（
正确答案
证明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故lny-lnx=
即1-
②证明：由（*）式可得
…
上述不等式相加，得
（注：能给出叠加式中的任何一个即给（1分），能给出一般式
（2）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（
（注：能猜出n≥3时等式不恒成立即给1分）
当n=1时，f（x）-f（y）=f′（
当n=2时，f（x）-f（y）=x2-y2=2（
下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2n-1=n． …（11分）
当n≥3时，2n-1=（1+1）n-1=
因此，n≥3时方程2n-1=n无解．
故n的所有可能值为1和2．…（14分）
解析
证明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故lny-lnx=
即1-
②证明：由（*）式可得
…
上述不等式相加，得
（注：能给出叠加式中的任何一个即给（1分），能给出一般式
（2）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（
（注：能猜出n≥3时等式不恒成立即给1分）
当n=1时，f（x）-f（y）=f′（
当n=2时，f（x）-f（y）=x2-y2=2（
下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2n-1=n． …（11分）
当n≥3时，2n-1=（1+1）n-1=
因此，n≥3时方程2n-1=n无解．
故n的所有可能值为1和2．…（14分）
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