热门试卷

解：（1）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx-ax＞0”，

“＜b”等价于“sinx-bx＜0”．

令g（x）=sinx-cx，则g′（x）=cosx-c．

①当c≤0时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立．

②当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx-c＜0，

∴g（x）在区间（0，）上单调递减，

从而g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立．

③当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0-c=0．

g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：

∵g（x）在区间（0，x0）上是增函数，

∴g（x0）＞g（0）=0．

于是“g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立”当且仅当g（）=1-c≥0，即0＜c≤．

综上所述，当且仅当c≤时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立；

当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立．

∴若a＜＜b对任意x∈（0，）恒成立，

则a的最大值为，b的最小值为1．

（2）证明：①当n=2时，，即原不等式成立；

②假设n=k时，原不等式成立，即：；

则当n=k+1时，左边=sin+sin+…++＞，

下面只要证明：+＞，即证明＞即可．

由（1）可知：＞=，而＞，

∴＞．

综上可得：命题对于n≥2，n∈N*都成立．

解：（1）∵数列{an}满足2an+1an-3an+1-an+2=0，n∈N*，a1=．

∴当n=1时，2a2a1-3a2-a1+2=0，即=0，解得a2=．

同理可得：a3=，a4=．

（2）由（1）猜想：an=．

下面利用数学归纳法证明．

（i）当n=1时，=成立．

（ii）假设当n=k∈N*时，成立．

则n=k+1时，有2ak+1ak-3ak+1-ak+2=0，即-3ak+1-+2=0，

解得ak+1=．

∴当n=k+1时，an=成立．

综上可得：∀n∈N*，an=成立．