热门试卷

解析：（1）

，所以为等差数列。

（2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则，

于是得即

       由有即，从而.[来源:学科网ZXXK]

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。

综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

（1）由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1。

∴数列的通项公式为，（2分）

∵，∴，∴，∴数列为等比数列，（4分）

又，∴，∴数列的通项公式为，（6分）

（2）由已知得：。

∴，

∴，（8分）

∴两式相减得

，（10分）

∴数列的前项和，（12分）

（1）解法一：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d。

因为a2，a3，a4成等比数列，所以

因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝，因为an＞0，所以d＝。

因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝，

解法二：因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，

则，

则，解得或（舍），所以。

解法三：因为a1，a2，a3成等差数列，则，

因为a2，a3，a4成等比数列，则

因为a3，a4，a5成等差数列，则，则

解得：或；当时，（与矛盾，故舍去），所以。

（2）证法一：因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，

所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①  a＝a2na2n＋2，②；所以a＝a2n－2a2n，n≥2，③

由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，

可得a4＝。

所以。

①     当n＝2m，mN*时，

＝－＜0。

②     当n＝2m－1，mN*，m≥2时，

＝－＜0。

综上，对一切n∈N*，n≥2，有。          

证法二：①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列。

②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以，

由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，，

（1）当时，有

，也满足上式，

所以数列的通项为. 

（2）因为，

所以对任意的有，

所以数列是一个以6为周期的循环数列

又因为，所以

所以

，

所以数列为常数列. 

（3）因为，且，所以，

且对任意的，有，

设，（其中为常数且），所以

，

所以数列均为以7为公差的等差数列.

记，则，

（其中，为中的一个常数），

当时，对任意的有；

当时，

①若，则对任意的有，数列为单调减数列；

②若，则对任意的有，数列为单调增数列；

综上，当时，数列中必有某数重复出现无数次

当时，符合要求；当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

即当时，数列中必有某数重复出现无数次.

解析： （1） 由题，设的公比为，则，

由依次成等差数列，所以。

即，解得或又，所以，故

所以数列的通项公式为。                                     6分

（2） 由（1）得，，所以                     8分

则，，

由恒成立，得。                                         12分

（1）设等差数列的公差为，则，解得，

所以.           

（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，

若，则由，得，此时，由，

解得，所以，同理；        

若，则由，得，此时，

另一方面，，所以，即，  

所以对任何正整数，是数列的第项，所以最小的公比。

所以，                 

（3）因为，得，而，

所以当且时，所有的均为正整数，适合题意；

当且时，不全是正整数，不合题意。

而有解，所以有解，经检验，当，，时，都是的解，适合题意；        

下证当时，无解, 设，

则，

因为，所以在上递减，

又因为，所以恒成立，所以，所以恒成立，

又因为当时，，所以当时，无解.     

综上所述，的取值为             

（1） 证明：由an＋an＋1＝2n，得an＋1＝2n－an，

所以  

又因为，所以数列{an－×2n}是首项为，公比为－1的等比数列。

所以an－×2n＝×（－1）n－1，即an＝[2n－（－1）n]，所以bn＝2n－（－1）n，  （5分）

（2） 假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即[2k－1－（－1）k－1]＋[2k＋1－（－1）k＋1]＝2[2k－（－1）k]，即2k－1＝4（－1）k－1。

① 若k为偶数，则2k－1＞0,4（－1）k－1＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk－1，bk，bk＋1成等差数列，（7分）

② 若k为奇数，则当k≥3时，2k－1≥4，而4（－1）k－1＝4，所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列。

综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列，（9分）

（3） 要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2br，

即3＋2s－（－1）s＝2[2r－（－1）r]，即2s－2r＋1＝（－1）s－2（－1）r－3，（﹡） （10分）

① 若s＝r＋1，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1＝0，

右端（－1）s－2（－1）r－3＝（－1）s＋2（－1）s－3＝3（－1）s－3，

要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时，又s＞r＞1，且s，r为正整数，

所以当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列，（12分）

② 若s≥r＋2时，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1≥2r＋2－2r＋1＝2r＋1，

由（2）可知，r≥3，所以r＋1≥4，所以左端2s－2r＋1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”）；右端（－1）s－2（－1）s－3≤0.所以当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列，

综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列。