等比数列的判断与证明_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知，则（）

Ab

Ba < b

Cb

Dc

正确答案

A

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列{an}的首项为1， Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q﹥0，n∈N+

23.若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

24.设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+ e22+…+en2，

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

（Ⅰ）由已知，两式相减得到.

又由得到，故对所有都成立.

所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.[来源:学.科.网]

从而.

由成等差数列，可得，所以，故.

所以.

考查方向

本题考查了数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式的知识点

解题思路

先利用双曲线的离心率定义得到的表达式，再由解出的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是的递推式，在与的关系式中，经常用代换（），然后两式相减，可得的递推式，利用这种方法解题时要注意；

易错点

本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，在求离心率时易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

（Ⅱ）由题意可得，

所以双曲线的离心率为

解得.所以

考查方向

本题考查了数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式的知识点

解题思路

先利用双曲线的离心率定义得到的表达式，再由解出的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅱ）问中，按题意步步为营，认真计算．不需要多少解题技巧，符合文科生的特点．

易错点

本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，在求离心率时易错。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.已知等比数列满足,,则（）

正确答案

C

解析

由题意可得 ,所以 ,故 ,选C.

考查方向

本题主要考查等比数列性质及基本运算，属于基础题目.

解题思路

解决本题的关键是利用等比数列性质得到一个关于的一元二次方程,再通过解方程求的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

易错点

等比数列性质的灵活应用

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知是等比数列，前n项和为，且.

22.求的通项公式；

23.若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

试题分析：本题属于数列的性质及数列求和的综合应用问题，属于简单题，分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．

(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．本题只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知有，解之可得，又由知，所以，解之得，所以.

考查方向

本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式等知识点，考察数列求和的基本方法和运算能力。

解题思路

（1）根据已知条件即可求出通项公式；

易错点

正确答案

（Ⅱ）

解析

试题分析：本题属于数列的性质及数列求和的综合应用问题，属于简单题，分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．

(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．本题只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

（Ⅱ）解：由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.

设数列的前项和为，则

考查方向

本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式等知识点，考察数列求和的基本方法和运算能力。

解题思路

（2）先根据等差中项的概念求出数列的通项公式，再利用分组求和法求和．

易错点

正确答案

；

解析

，．

考查方向

方差

解题思路

根据方差公式求解

易错点

公式中要除以n。

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.设，则（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为，所以，

故答案选.

考查方向

本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．

解题思路

本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求的值，继而去求的值；.若求函数的值，需要先求的值，再去求的值；若是解方程的根，则需先令，即，再解方程求出的值，最后在解方程；属于基础题.

易错点

注意运算的准确性.

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．已知{}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝_________．

正确答案

-1

解析

考查方向

本题考察了等差数列的通项公式和等比中项，比较简单

解题思路

1）使用等差数列通项公式使用a1和d表示a5，a3，a11

2）使用等比中项公式得到关系式计算得出a1

易错点

主要易错于计算出错

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

11. 在等比数列中，成等差数列，则_____________．

正确答案

3

解析

由题可知，a5=3a1+2a3，q4=3+2q2，q2=3，则q2=3.

考查方向

本题主要考查等比数列的知识

解题思路

表示等差数列，表示首项与公比的关系，代入即可得到结果。

易错点

本题易在表示等差数列时发生错误。

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明裂项相消法求和数列与函数的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．在数列{an}中，a1=2，an+1= ，n∈N*.

(1)求证：是等比数列；

(2)求数列{an}的前n项之和Sn．

正确答案

略．

解析

试题分析：本题属于数列中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）由已知得。

所以是以1为首项，2为公比的等比数列。

考查方向

本题考查了数列的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查数列问题，解题步骤如下：

（1）利用等比数列的定义证明。

（2）利用错位相减法求和。

易错点

错位相减法求和时相减的结果项数易错。

知识点

等比数列的判断与证明错位相减法求和

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