利用导数研究函数的单调性
共252题

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利用导数研究函数的单调性
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题型：简答题

简答题 · 14 分

若，其中。

（1）当时，求函数在区间上的最大值；

（2）当时，若，恒成立，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）当，时，，

∵，∴当时，，

∴函数在上单调递增，

故

（2）①当时，，，

，，∴f（x）在上增函数，

故当时，；

②当时，，，

（i）当即时，在区间上为增函数，

当时，，且此时；

（ii）当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

故当时，，且此时；

（iii）当，即时，在区间[1，e]上为减函数，

故当时，.

综上所述，函数的在上的最小值为

由得；由得无解；由得无解；

故所求的取值范围是。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4（），是f（x）的导函数。

（1）当a＝2时，对于任意的m［－1,1］，n［－1,1］，求f（m）＋的最小值；

（2）若存在，使＞0，求a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意知

令

当在[-1，1]上变化时，随的变化情况如下表：

的最小值为

的对称轴为，且抛物线开口向下,

的最小值为

的最小值为-11.

（2）.

①若,上单调递减，

又

②若当

从而上单调递增，在上单调递减，

根据题意，

综上，的取值范围是

(或由,用两种方法可解)

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.

（1）求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

（2）证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.

（3）设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1） f (x)的反函数,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=.

.过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1

（2）证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点，过程如下。

因此，

所以，曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕）

（3）设

令。

，且

。

所以

知识点

反函数导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数的导函数为，对任意都有成立，则（　　）

D与的大小不确定

正确答案

解析

略

知识点

导数的运算利用导数研究函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，R .

（1）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；

（2）当时，函数在区间N上存在极值，求的最大

值。

( 参考数值: 自然对数的底数≈)

正确答案

见解析。

解析

（1）解法1：函数的定义域为,

∵， ∴.

∵ 函数在上单调递增，

∴ , 即对都成立.

∴ 对都成立.

当时, , 当且仅当, 即时,取等号。

∴, 即.

∴的取值范围为.

解法2：函数的定义域为,

∵， ∴.

方程的判别式.

① 当, 即时, ,

此时, 对都成立,

故函数在定义域上是增函数.

② 当, 即或时, 要使函数在定义域上为增函数, 只需对都成立。

设, 则得.

故.

综合①②得的取值范围为.

（2）解：当时, .

∵ 函数在N上存在极值，

∴ 方程在N上有解,

即方程在N上有解.

令, 由于, 则,

∴函数在上单调递减.

∵,

∴函数的零点.

∵方程在 N上有解, N

∴.

∵N，

∴的最大值为.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值

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