利用导数研究函数的单调性
共252题

· 利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数

26.若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

27.若斜率为的直线与的图像交于、两点，点为线段的中点，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

() 2分

因为函数在上为单调增函数，所以在恒成立

解得；

考查方向

函数的导数及应用，函数的恒成立问题，对思维能力与逻辑运算能力有较高的要求。

解题思路

直接求导，在恒成立即可解a.

易错点

函数的恒成立问题，构造新函数；用导数解决函数的综合性问题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略

解析

设点，，不妨设，则．

要证，即

即证．只需证, 即证．只需证．设．由(1)令知在上是单调增函数，又，所以．即，

即．所以不等式成立.

考查方向

函数的导数及应用，函数的恒成立问题，对思维能力与逻辑运算能力有较高的要求。

解题思路

设出交点坐标，用分析法证明，要证，即，只需证．引入函数，，利用导数求解。

易错点

函数的恒成立问题，构造新函数；用导数解决函数的综合性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数

26.若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

27.若斜率为的直线与的图像交于、两点，点为线段的中点，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

() 2分

因为函数在上为单调增函数，所以在恒成立

解得；

考查方向

函数的导数及应用，函数的恒成立问题，对思维能力与逻辑运算能力有较高的要求。

解题思路

直接求导，在恒成立即可解a.

易错点

函数的恒成立问题，构造新函数；用导数解决函数的综合性问题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略

解析

设点，，不妨设，则．

要证，即

即证．只需证, 即证．只需证．设．由(1)令知在上是单调增函数，又，所以．即，

即．所以不等式成立.

考查方向

函数的导数及应用，函数的恒成立问题，对思维能力与逻辑运算能力有较高的要求。

解题思路

设出交点坐标，用分析法证明，要证，即，只需证．引入函数，，利用导数求解。

易错点

函数的恒成立问题，构造新函数；用导数解决函数的综合性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

21. 设函数.

（1）讨论的导函数的零点的个数；

（2）证明：当时.

正确答案

（1）的定义域为.

当≤0时，没有零点；

当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，

当b满足0＜b＜且b＜时，，故当＜0时存在唯一零点.

（2）由（1），可设在的唯一零点为，当时，＜0；

当时，＞0.

故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.

由于，所以.

故当时，.

解析

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知识点

函数零点的判断和求解利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

8. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足则必有

A．

B．

C．

D．

正确答案

解析

由得,当时, , f(x)在上增函数;当时, , f(x)在上减函数.x=1,为极小值点，所以，，

两式相加得。选C

考查方向

考查利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性的证明不等式。

解题思路

有已知不等式，分类讨论得到函数的单调性，求出最小值，再利用单调性得到不等式，相加得得到结论与选项对照的C成立。

易错点

不会利用已知不等式得到函数的单调性。

知识点

利用导数研究函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，

25.若函数的图象在点处的切线与直线平行，函数在处取得极值，求函数的解析式，并确定函数的单调递减区间；

26.若，且函数在上是减函数，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

已知函数，

（…………2分）

又函数图象在点处的切线与直线平行，且函数在处取得极值，，且，解得

，且（………………………6分）

令，

所以函数的单调递减区间为（………………………8分）

考查方向

考查利用导数研究函数的单调性，与极值，以及导数的几何意义。

解题思路

利用切线与已知直线垂直可得两直线的斜率相等。再利用导数的几何意义，函数在某一点的导数，为该点的切线的斜率。得到一个关于a，b的等式。再由函数在x=1处取得极值点，得到x=1处的导函数为零，联立方程组可得，a，b的值；最后求出导函数得到单间区间。

易错点

熟悉导数的几何意义，以及用等式研究函数的单调性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当时，，又函数在上是减函数

在上恒成立，（………………………10分）

即在上恒成立。（………………………12分）

考查方向

考查利用导数研究函数的单调性。以及恒成立问题的求解方法。

解题思路

由函数在区间上单调递减，则导函数在上恒小于或等于零，所以在上恒成立的解，得到b小于或等于的最小值，得解。

易错点

熟悉恒成立问题的求解方法。

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