- 利用导数研究函数的单调性
- 共252题
已知函数在点(1,
)处的切线方程为
。
(1)求、
的值;
(2)对函数定义域内的任一个实数
,
恒成立,求实数
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)由
而点在直线
上
,
又直线的斜率为
故有
(2)由(1)得,
由及
。
令,
令,
故在区间
上是减函数,
故当时,
,
当时,
从而当时,
,当
时,
在
是增函数,在
是减函数,
故
要使成立,只需
故
的取值范围是
知识点
已知函数f(x)=(3x2-6X+6)ex-x3
(1)求函数f(x)的单调区间及极值;
(2)若 x1 x2 满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2 <0
正确答案
见解析。
解析
(1)∵,
∴当时,
;当
时,
.
则的增区间是
,减区间是
.
所以在
处取得极小值
,无极大值. ………6分
(2)∵且
,由(1)可知
异号.
不妨设,
,则
.
令=
, ………8分
则,
所以在
上是增函数. ………10分
又,∴
,
又∵在
上是增函数,
∴,即
. ………12分
知识点
已知函数,
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)若,且在定义域内
恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
见解析
解析
(1)当时,
,函数定义域为
。
,由
,得
,
时,
,
在
上是增函数。
时,
,
在
上是减函数;
(2)由,得
,
,
,由
,得
,又
恒成立,
令,可得
,
在
上递减,在
上递增。
∴
即,即
的取值范围是
.
知识点
设二次函数(
为常数
)的导函数为
,对任意
,不等式
恒成立,则
的最大值为________。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数在
处取得极小值
。
(1)求的单调区间;
(2)若对任意的,函数
的图象
与函数
的图象
至多有一个交点,求实数
的范围。
正确答案
(1)是单调递增区间,
是单调递减区间。
(2)
解析
(1),
由题意得: 解得
……………………………4 分
∴
∴当或
时
;当
时
∴是单调递增区间,
是单调递减区间。…………………6 分
(2)
由方程组
得至多有一个实根……………………………………8分
∴恒成立
……………………………………9 分
令,则
由此知函数
在(0,2)上为减函数,在
上为增函数,
所以当时,函数
取最小值,即为
,于是
……………………15 分
知识点
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