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试题分析：本题属于探究性问题，题目的难度是逐渐由易到难，通过归纳猜想，得出结论，再利用数学归纳法进行证明。

（1），，，.

（2）猜想.

下用数学归纳法证明之.

证明：①当时，由（1）知猜想成立；

②假设当时，猜想成立，即，而，所以得.  ……6分

则当时，易知，

而当集合从变为时，在的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和个，

所以

，

即.

所以当时，猜想也成立.

综上所述，猜想成立.

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（1）由已知，，，

∴，

由于，

∴可能值为。…………………………3分

（2）∵，

当时，，

当时，，

，，…………………………5分

∵是的生成数列，

∴；；；

∴

在以上各种组合中，

当且仅当时，才成立。

∴。…………………………8分

（3）共有种情形。

，即，

又，分子必是奇数，

满足条件的奇数共有个。…………………………10分

设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项。

由于，不妨设，

，

所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有。……12分

∴共有种情形，其值各不相同。

∴可能值必恰为，共个。

即所有可能值集合为。…………………………13分

（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，

是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

∴必为有理数，∴cosA是有理数。

（2）①当时，显然cosA是有理数；

当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；

②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。

当时，，

，

，

解得：

∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，

∴是有理数。

即当时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。

（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

是有理数。

（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。

①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。

②假设当时，和都是有理数。

当时，由，

，

及①和归纳假设，知和都是有理数。

即当时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

解：

（1）由，得：，，所以函数在区间上有零点。

（2）由（1）得：，由知，，而，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点。

解法1：－1，记－1，则.

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。有且只有两个零点.所以，方程根的个数为2。

（3）记的正零点为，即.

（i）当时，由，即.而，因此，由此猜测：.下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立.故对任意的，成立。

（ii）当时，由（1）知，在上单调递增.则，即.从而，即，由此猜测：.下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.

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