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题型:简答题
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简答题 · 10 分

24.设集合,记的含有三个元素的子集个数为,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为.

(1)求的值;

(2)猜想的表达式,并证明之.

正确答案

(1).

(2)猜想.

解析

试题分析:本题属于探究性问题,题目的难度是逐渐由易到难,通过归纳猜想,得出结论,再利用数学归纳法进行证明。

(1).

(2)猜想.

下用数学归纳法证明之.

证明:①当时,由(1)知猜想成立;

②假设当时,猜想成立,即,而,所以得.  ……6分

则当时,易知

而当集合变为时,的基础上增加了1个2,2个3,3个4,…,和

所以

.

所以当时,猜想也成立.

综上所述,猜想成立.

考查方向

本题考查了集合、数列的概念与运算,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力。

解题思路

本题考查数学归纳法,解题步骤如下:

1、验证当n取第一个值时命题成立( 即n时命题成立) (归纳奠基)

2、假设当时命题成立,证明当n=k+1时命题成立(归纳递推)

3、由(1)(2)就可以判定,对于一切n≥的所有自然数n命题成立(结论)

易错点

数学归纳法证明的步骤,尤其第二部归纳递推要过程充分。

知识点

归纳推理数学归纳法的应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的都满足,若,则(     )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

数学归纳法的应用
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

23.已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0<p<1),且各个元件能否正常工作是相互独立的。今有2n(n大于1)个元件可按下图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙。

(1)试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1,p2

(2)比较p1与p2的大小,并从概率意义上评价两系统的优劣。

正确答案

解析

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知识点

二项式定理的应用相互独立事件的概率乘法公式数学归纳法的应用
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

22.用数学归纳法证明:

正确答案

解析

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知识点

数列与不等式的综合数学归纳法的应用
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

23.已知集合,设,令表示集合所含元素的个数.

(1)写出的值;

(2)当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明。

正确答案

(1)

(2)当时,).

下面用数学归纳法证明:

①当时,,结论成立;

②假设)时结论成立,那么时,的基础上新增加的元素在中产生,分以下情形讨论:

1)若,则,此时有

,结论成立;

2)若,则,此时有

,结论成立;

3)若,则,此时有

,结论成立;

4)若,则,此时有

,结论成立;

5)若,则,此时有

,结论成立;

6)若,则,此时有

,结论成立.

综上所述,结论对满足的自然数均成立.

解析

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知识点

元素与集合关系的判断数列与函数的综合数学归纳法的应用
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