数学归纳法的应用
共9题

· 数学归纳法的应用

数学归纳法的应用
共9题

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题型：简答题

简答题 · 10 分

24．设集合，记的含有三个元素的子集个数为，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为.

（1）求，，，的值；

（2）猜想的表达式，并证明之.

正确答案

（1），，，.

（2）猜想.

解析

试题分析：本题属于探究性问题，题目的难度是逐渐由易到难，通过归纳猜想，得出结论，再利用数学归纳法进行证明。

（1），，，.

（2）猜想.

下用数学归纳法证明之.

证明：①当时，由（1）知猜想成立；

②假设当时，猜想成立，即，而，所以得. ……6分

则当时，易知，

而当集合从变为时，在的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和个，

所以

，

即.

所以当时，猜想也成立.

综上所述，猜想成立.

考查方向

本题考查了集合、数列的概念与运算，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力。

解题思路

本题考查数学归纳法，解题步骤如下：

1、验证当n取第一个值时命题成立( 即n＝时命题成立) (归纳奠基）；

2、假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题成立(归纳递推）

3、由（1）（2）就可以判定，对于一切n≥的所有自然数n命题成立(结论）

易错点

数学归纳法证明的步骤，尤其第二部归纳递推要过程充分。

知识点

归纳推理数学归纳法的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的都满足,若,则( )

正确答案

解析

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知识点

数学归纳法的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

23．已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0＜p＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的。今有2n(n大于1)个元件可按下图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙。

（1）试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；

（2）比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣。

正确答案

解析

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知识点

二项式定理的应用相互独立事件的概率乘法公式数学归纳法的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

22.用数学归纳法证明：。

正确答案

解析

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知识点

数列与不等式的综合数学归纳法的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

23.已知集合，设，令表示集合所含元素的个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。

正确答案

（1）．

（2）当时，（）．

下面用数学归纳法证明：

①当时，，结论成立；

②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：

1）若，则，此时有

，结论成立；

2）若，则，此时有

，结论成立；

3）若，则，此时有

，结论成立；

4）若，则，此时有

，结论成立；

5）若，则，此时有

，结论成立；

6）若，则，此时有

，结论成立．

综上所述，结论对满足的自然数均成立．

解析

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知识点

元素与集合关系的判断数列与函数的综合数学归纳法的应用

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