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题型:填空题
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填空题 · 4 分

为实数,首项为,公差为的等差数列的前项和为,满足的取值范围是              。

正确答案

(-∞,-22,+∞)

解析

2a12+9a1d+10d2+1=0,此方程有解,所以△=81d2-8(10d2+1)>0,得d>2或d<-2

知识点

等比数列的判断与证明
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知等比数列的公比为q,记

则以下结论一定正确的是(    )

A数列为等差数列,公差为

B数列为等比数列,公比为

C数列为等比数列,公比为

D数列为等比数列,公比为

正确答案

C

解析

等比数列的公比为q, 同理可得,数列为等比数列,故选C

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列的各项均为正数,记

(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.

(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.

正确答案

见解析

解析

(1)对任意,三个数是等差数列,所以

亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是

(2)①必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有

知,均大于0,于是

,所以三个数组成公比为的等比数列.

②充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,

于是

,从而.

因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,

综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.

知识点

充要条件的判定等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设等比数列的前项和为,已知()

(1)求数列的通项公式;

(2)在之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列。

求证:()。

正确答案

见解析。

解析

(1)设等比数列的首项为,公比为

=

()

,得,即,解得:

.

(2)①,则

①     则

①  -②得:2+

=+

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

设{an}是公比为q的等比数列。

(1)推导{an}的前n项和公式;

(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列。

正确答案

见解析

解析

(1)设{an}的前n项和为Sn

当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1

当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②

①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn

,∴

(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N

(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),

+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,

a12q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1

∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.

∵q≠0,∴q2-2q+1=0,

∴q=1,这与已知矛盾,

∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列

知识点

等比数列的判断与证明其它方法求和
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