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等比数列的判断与证明
共122题

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等比数列的判断与证明
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1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足则的取值范围是。

正确答案

(－∞，－2∪2，＋∞)

解析

2a12＋9a1d＋10d2＋1＝0，此方程有解，所以△＝81d2－8(10d2＋1)＞0，得d＞2或d＜－2

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知等比数列的公比为q，记

则以下结论一定正确的是（）

A数列为等差数列，公差为

B数列为等比数列，公比为

C数列为等比数列，公比为

D数列为等比数列，公比为

正确答案

C

解析

等比数列的公比为q, 同理可得,数列为等比数列，故选C

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列的各项均为正数，记，，，

（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.

（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.

正确答案

见解析

解析

（1）对任意,三个数是等差数列，所以

即亦即故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是

（2）①必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有

由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.

②充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则，

于是得

即

由有即，从而.

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.

知识点

充要条件的判定等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设等比数列的前项和为，已知()

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列。

求证：()。

正确答案

见解析。

解析

（1）设等比数列的首项为，公比为，

，（）

=

即()

当,得，即，解得：

即.

（2）①，则，

设① 则②

① -②得：2+

=+

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设{an}是公比为q的等比数列。

（1）推导{an}的前n项和公式；

（2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列。

正确答案

见解析

解析

（1）设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

∴，∴

（2）证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

a12q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.

∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾，

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列

知识点

等比数列的判断与证明其它方法求和

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