热门试卷

证明：（1）由ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A1C1⊥B1D1，

又A1A⊥平面A1B1C1D1，所以A1A⊥B1D1

又AA1∩A1C1=A1，

由线面垂直的判定定理，有B1D1⊥平面A1ACC1，

而A1C⊂平面A1ACC1，

所以A1C⊥B1D1；

（2）连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1，

由ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AC∥A1C1，且O1C1=AO=AC，

即四边形OCC1O1是平行四边形，

所以AO1∥OC1，

又AO1⊂平面AB1D1，OC1⊄平面AB1D1，

则C1O∥面AB1D1．

证明：（1）取AB的中点G，连接FG，可得FG∥AE，FG=AE，

又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，

∴CD∥AE，CD=AE，

∴FG∥CD，FG=CD，

∵FG⊥平面ABC，

∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，

CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，

∴DF∥平面ABC．

（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，

F为BE中点，∴AF⊥BE，

∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，

∴DF⊥AB，

又DF⊥FG，

∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，

∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．

（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC．

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，

∴AD⊥B1B．

∵BC∩B1B=B，

∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F⊂平面B1BCC1，

∴AD⊥B1F．

在矩形B1BCC1中，

∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．

∴∠CFD=∠C1B1F．

∴∠B1FD=90°，

∴B1F⊥FD．

∵AD∩FD=D，

∴B1F⊥平面ADF．

（2）取B1C1中点为D1，在 C1D1上取点E，使，连接PE，EF．

∵，

又A1D1∥AD，

∴PE∥AD，

∵AD⊂面ADB1，PE⊄面ADB1

∴PE∥面ADB1

∵CF=2，CC1=3

∵，

∵DB1⊂面ADB1，EF⊄面ADB1

，

∵，

∵，

∴平面PEF∥面ADB1．

∵PF⊂平面PEF

∴PF∥面ADB1．

（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE．

∵O为正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，

且E为BC中点．又AD=2DP，

∴DO∥PE，--------------（2分）

∵DO⊄平面PBC，PE⊂平面PBC

∴DO∥面PBC．--------------（4分）

（Ⅱ）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，

又平面PBC⊥平面ABC，

∴PE⊥平面ABC，--------------（5分）

由（Ⅰ）知，DO∥PE，

∴DO⊥平面PBC，

∴DO⊥AC--------------（6分）

连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，

∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．--------------（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，

所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则------------（9分）

∴

设平面BDM的法向量为，则，

令y=1，则．--------------（10分）

由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，

∴为平面DBO的法向量，

∴，

由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为．--------------（12分）