直线与平面平行的判定与性质
共1286题

· 直线与平面平行的判定与性质

直线与平面平行的判定与性质
共1286题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是BC的中点，P是CC1的中点．求证：

（1）A1B∥平面AC1D；

（2）B1P⊥平面AC1D．

正确答案

证明：（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，∴侧面AA1C1C是正方形，

∴点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是△A1CB的中位线．

∴OD∥A1B，又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D． …（7分）

（2）由（1）知，侧面BCC1B1是正方形，又D、P分别为BC、CC1的中点，∴△CC1D≌△C1B1P，

∴∠CDC1=∠C1PB1，∴B1P⊥C1D，…（9分）

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，且侧面BCC1B1∩底面ABC=BC，

AD⊂底面ABC，∴AD⊥平面BCC1B1，…（12分）

又B1P⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1P，又AD∩C1D=D，∴B1P⊥平面AC1D．…（14分）

解析

证明：（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，∴侧面AA1C1C是正方形，

∴点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是△A1CB的中位线．

∴OD∥A1B，又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D． …（7分）

（2）由（1）知，侧面BCC1B1是正方形，又D、P分别为BC、CC1的中点，∴△CC1D≌△C1B1P，

∴∠CDC1=∠C1PB1，∴B1P⊥C1D，…（9分）

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，且侧面BCC1B1∩底面ABC=BC，

AD⊂底面ABC，∴AD⊥平面BCC1B1，…（12分）

又B1P⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1P，又AD∩C1D=D，∴B1P⊥平面AC1D．…（14分）

题型：简答题

简答题

在三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCB1C1．

正确答案

证明：∵四边形ACA1C1为平行四边形，

∴连接AC1，则N为AC1与A1C的交点，

∵M、N分别是AB、A1C的中点，

∴MN∥BC1，

∵BC1⊂平面BCB1C1，MN⊄平面BCB1C1，

∴MN∥平面BCB1C1．

解析

证明：∵四边形ACA1C1为平行四边形，

∴连接AC1，则N为AC1与A1C的交点，

∵M、N分别是AB、A1C的中点，

∴MN∥BC1，

∵BC1⊂平面BCB1C1，MN⊄平面BCB1C1，

∴MN∥平面BCB1C1．

题型：填空题

填空题

一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别是AF、BC的中点．请把下面几种正确说法的序号填在横线上______．

①MN∥平面CDEF；

②BE⊥AC；

③该几何体的表面积等于；

④该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在球面上）的体积等于．

正确答案

①③④

解析

解：由题意可知几何体是放倒的三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为2，高为2的直三棱柱，

即正方体对角面截成的两个三棱柱之一．

M、N分别是AF、BC的中点．所以MN∥EC⇒MN∥平面CDEF，①正确；

EB⊥BC，BE不能垂直MC，所以②不正确；

该几何体的表面积：2×2+2×2+2×+=，③正确；

该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在球面上）的体积，就是棱长为2的正方体的外接球的体积，

外接球的半径为：=，

外接球的体积：=．④正确．

故答案为：①③④．

题型：简答题

简答题

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，四边形ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CB=a，∠ACB=．

（1）求证：BC⊥平面ACFE；

（2）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM的长．

正确答案

（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ACB=．

∴AC⊥BC

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，

∴BC⊥平面ACFE

（2）解：当EM=a时，AM∥平面BDF；

在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2，AD=DC=CB=a，AB∥CD，

所以∠ACD=∠CAB=∠DAC，

所以∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+∠ACB=3∠DAC+=π，

所以∠DAC=，即∠CBN=．

又∠ACB=，CB=a，

所以CN=a，

连接FN，由AM∥平面BDF得AM∥FN，

因为四边形ACFE是矩形，所以EM=CN=a．

解析

（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ACB=．

∴AC⊥BC

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，

∴BC⊥平面ACFE

（2）解：当EM=a时，AM∥平面BDF；

在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2，AD=DC=CB=a，AB∥CD，

所以∠ACD=∠CAB=∠DAC，

所以∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+∠ACB=3∠DAC+=π，

所以∠DAC=，即∠CBN=．

又∠ACB=，CB=a，

所以CN=a，

连接FN，由AM∥平面BDF得AM∥FN，

因为四边形ACFE是矩形，所以EM=CN=a．

题型：简答题

简答题

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

（Ⅰ）求证OD∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．

正确答案

解：方法一：

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，

∴OD∥PA又PA⊂平面PAB

∴OD∥平面PAB

（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，

又∵OP⊥平面ABC

∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．

可设PA=2，AB=BC=1，PO=，EO=，PE=，

OD=1，OF==，

在Rt△ODF中，sin∠ODF=，

∴OD与平面PBC所成的角为arcsin．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），

设OP=h，则P（0，0，h）．

（Ⅰ）∵D为PC的中点，

∴，

∴．∴．∴OD∥平面PAB．

（Ⅱ）∵PA=2a∴，

∴，可求得平面PBC的法向量，

∴．

设OD与平面PBC所成的角为θ，

则，

∴OD与平面PBC所成的角为arcsin

解析

解：方法一：

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，

∴OD∥PA又PA⊂平面PAB

∴OD∥平面PAB

（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，

又∵OP⊥平面ABC

∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．

可设PA=2，AB=BC=1，PO=，EO=，PE=，

OD=1，OF==，

在Rt△ODF中，sin∠ODF=，

∴OD与平面PBC所成的角为arcsin．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），

设OP=h，则P（0，0，h）．

（Ⅰ）∵D为PC的中点，

∴，

∴．∴．∴OD∥平面PAB．

（Ⅱ）∵PA=2a∴，

∴，可求得平面PBC的法向量，

∴．

设OD与平面PBC所成的角为θ，

则，

∴OD与平面PBC所成的角为arcsin

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 平面与平面平行的判定与性质

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与平面平行的判定与性质

扫码查看完整答案与解析