热门试卷

（Ⅰ）证明：取AD中点E，连结ME，NE，

由已知得M，N分别是PA，BC的中点，

∴ME∥PD，NE∥CD，

又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE=E，

∴平面MNE∥平面PCD．

（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD．

（3）解：PD⊥平面ABCD，∴PD为三棱锥P-ABC的高，

∵底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，

M，N分别为PA，BC的中点，且PD=AD=2．

∴三棱锥P-ABC的体积V==．

证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，

所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，

故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．

（2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 ，

可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，

AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．

在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA⊂平面AFC1，

∴平面AFC1⊥ACC1A1．

（3）由（2）知BD⊥ACC1A1，又AC1⊂ACC1A1，

∴BD⊥AC1，∴BD∥NA，∴AC1⊥NA． 又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角．

在Rt△C1AC中，tan∠CAC1==，故∠C1AC=30°，

∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°．

证明：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为D，E分别是BC，B1C1的中点，

可知BD∥EC1，BD=EC1，则EBDC1为平行四边形，

故EB∥DC1，

∵EB⊄平面AC1D，DC1⊂平面AC1D，

∴EB∥平面AC1D

又AA1∥BB1∥ED，AA1=BB1=ED

∴AA1DE为平行四边形

∴A1E∥AD，

∵A1E⊄平面AC1D，AD⊂平面AC1D，

∴A1E∥平面AC1D，

又EB∩A1E=E，EB，A1E⊂平面A1EB

∴平面A1EB∥平面AC1D…（7分）

（2）∵D是BC的中点，且AB=AC

∴AD⊥BC，又面ABC⊥面B1BCC1，面ABC∩面面B1BCC1=BC

∴AD⊥面面B1BCC1，从而AD⊥DM，AD⊥DC1

∴∠MDC1为二面角M-AD-C1的平面角

设正三棱柱的棱长为1，可求DM=，DC1=，MC1=

有DM2+DC12=CC12，

∴∠MDC1为=

∴平面平面AMD⊥平面AC1D．…（14分）